第3.5节_光学谐振腔的衍射理论基础

2 2q q 1,2,3,
(2).腔内产生驻波的条件 *(光学腔长等于半波长的整数倍)
L L q
'
0 q
2
vq
c
0 q
——谐振频率
其它波长（频率）都被相消干涉所淘汰，只有 0 q（ v0 q ）才能产生 振荡，可通过改变L来选择 0 q （ v0 q）故称为选频。 从能量重新分布的角度来考虑，v0 q 的能量被加强了，其他频率的 被减弱了。
(3-6) (3-7)
称为积分方程的核。 umn 和 mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函 数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多 不同的自再现模。
（3-6）的解包括两个方面: ①本征函数 u ( x, y) 是复函数,其模代表镜面上光场振幅 分布,幅角代表镜面上光场的相位分布; ②本征值 也是个复数,其模反映了自再现模在腔内单程 渡越时所引起的功率损耗.幅角代表单程渡越后模的相位 滞后。
四、激光器中出现的纵模数
（第二章）
五.选纵模
1.确定可起振纵模数目
q的因素 (1)荧光线宽 *( 自发发 射线宽): F 大则q 大 ∵*(只有)满足
1 1 0 F q 0 F 2 2
的纵模 q 才能起振
图(3-4) 腔中允许的纵模数
(2)腔长: L 越大则 q 越大 1 ∵ *( , L大则 q 小, F 内可容更多个纵模) q L 例：L=30cm ，△vq=5×108Hz， 其中只有三个频率在原子 0.6328m线宽 F 范围内,所以激光器输出三个频率, 称三纵模.(多纵模激光器) 例:L=10cm 的He—Ne 激光器中满足（3-16） 的频率很多， 但形成激光的只有其 中之一,称为单模
例题：波长为=1.06m的钕玻璃激光器，全反射镜 的曲率半径 R=1m ，距离全反射镜 a=0.44m 处放臵 长为b=0.1m的钕玻璃棒，其折射率为n=1.7。棒的 右端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。判别腔 的稳定性。
R=1m n
a
b
第 5 节 光学谐振腔的衍射理论基础
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不 随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?
(1)自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。
（在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）
(2)往返损耗：自再现模往返一次的损耗。 (3)往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于2π的 整数倍。
三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释——孔阑传输
3.5.2 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
一.惠更斯 - 菲涅尔提出子波及子波干涉的概念
c
G a总
3. 落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分
六.
工作物质饱和效应的影响
1.均匀增宽工作物质
(a) 腔中的频率梳 (b) 均匀展宽谱线v0附近 达到振荡阈值 (c) 随着振荡加强,发生增
益饱和现象,整个增益
曲线下降 (d) 单纵模形式运转
2.非均匀增宽介质 (a)腔中的频率梳 (b)非均匀展宽谱线 (c)满足 q q 2L 及阈值条件的纵模 在增益曲线上“烧孔”
umn ( x, y ) mn K ( x, y, x' , y ' )uq ( x' , y ' )ds '
ik ik ( x , y , x ', y ') i ik ( x , y , x ', y ') 其中 K ( x, y, x' , y ' ) e e 2L L
νmnq qc 2nL
(3-16)
νmnq
qc 2L
(3-16)
2L c ν 基纵模的频率可以表达为： 1 2L 谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍）
q阶纵模频率可以表达为：
νq q
c
三. 纵模频率间隔
(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔 c qc c νmnq mn νq νq 1 νq 2L 2L 2L （a）频率梳——纵模等距排列 *(在频率空间)
(2)(横模) 标记:
TEMmn m, n —— 横模序数
(3)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移 本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的 功率损耗。
(4)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为 单程衍射损耗，用 表示。定义为 2 2 u j u j 1 2 2 1 uj 1 mn mn 1 u j 1 u j 本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
u j 1

uj
(3-3)
无关的复常数
综合上两式可得：
ik u j ( x, y) 4
u ( x' , y' )
j M'
e ik

(1 cos )ds'
(3-4)
去掉j，得自再现模积分方程
ik u( x, y) 4
因为
u( x' , y' )
M'
e ik
三. 自再现模积分方程
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行 ' 平面腔镜面 M 和 M 上分别建立了坐标 轴, 两两相互平行的坐标 x y 和 x ' y '。利用上式由镜面 M ' 上的光 场分布可以计算出镜M上的场分布函 数，即任意一个观察点P(x,y)的光场 图3-2 镜面上场分布的计算示意图 强度。 假设 u j ( x' , y' ) 为经过 j 次渡越后在某一镜面上所形成的场分布， u j 1 ( x, y) 表示光波经过 j +1次渡越后，到达另一镜面所形成的光 场分布，则u j 1与 u j 之间应满足如下的迭代关系： ik
面内的场的分布，横模 ） 模的电磁场理论（横截 (纵模） 模的简谐频率 模的基本特征 的相对功率损耗 模在腔内往返一次经受 每一个模的激光束的发 散角
2、稳态场的形成——模的“自再现”
镜1上的场分布，到达镜2时， 由于衍射，要经历一次能量的损耗 和场分布的变化，中间能量损失小， 镜边缘损失大，每单程渡越一次， 都会发生类似的能量损耗和场分布 变化，多次往返后，从而逐渐形成 中间强、边缘弱的基本不受衍射影 响的稳态场分布，该稳态场分布一 个往返后可“自再现”出发时的场 分布，唯一变化是镜面上各点的场 振幅按同样的比例衰减，各点相位 发生同样大小的滞后。 横向场振幅分布和相位分布都均 匀的平面波入射，经过多次孔阑 的衍射影响后，二者都变得不再 均匀，成为相对场振幅和相对相 位分布都不受衍射影响的稳态场 分布。

Δ
1.3 10 6 3 10 14 5 10
9
0

而为什么He—Ne激光器输出激光的
Δ

会小到10 - 15 呢？
一.谐振条件和驻波条件 在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。
相长干涉条件 （波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来 位臵时，应与初始出发波同相） (1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定 频率的光才能满足谐振条件

u j arg u j 1 arg
1

arg u j

3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
问题 Ne原子的0.6328 m谱线的频率宽度为
1.3 10 9 Hz
I ( 0 )
I ( 0 )
I ( 0 ) 2
3 108 14 v 5 10 Hz 6 0.632810 c
c
(d) 频率振荡
例:有一个谐振腔，腔长L=1m，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数。
例题：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面 镜曲率半径为 2m ，凹面镜曲率半径为 3m ，腔长 L=1m，腔内折射率 n=1 ，此球面镜腔是何种腔？ 当腔内插入一块长为0.5m，折射率n=2的其他透明 介质时，介质两端面垂直于腔轴线，谐振腔为何 种腔？ 区分以下三个概念： 几何腔长：谐振腔的几何长度 光学腔长：谐振腔的光程长度 等价腔长：与多元件共轴球面腔等效的g参数等价空 腔的长度，与腔内光学元件的几何参数有关
ik u j 1 ( x, y) 4
u ( x' , y' )
j M'
e

(1 cos )ds'
Байду номын сангаас
(3-2)
考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表 u j 1应能够将u j再现 示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 出来，两者之间应有关系： 1 ——与坐标(x,y)及(x’,y’)
二、 纵模(纵向的稳定场分布)
（1）激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布 (2).纵模序数：整数q称为纵模的序数
每个q值对应一个驻波
kL qc c qc 2 2q mn νmnq 2L 2L 2L k 2ν c
2.数值例:
(1) CO2激光器 : (2)氩离子激光器:
=10.6m =0.5145m
△vF≈108s-1
L=1m
△vq=1.5×108s-1
激光器输出单模 L=1m
△vF≈6×108s-1
△vq=1.5×108s-1
激光器多模输出
形成激光振荡的条件： 1. 满足谐振条件 q q 2L 2. 满足阈值条件
——源点 P '与观察点 P之间的距离
图3-24 惠更斯-菲涅耳原理
ik u( P) 4

S
u' ( P)eik

(1 cos )ds'
——源点 P '处的法线 n 与 P' P 的夹角 2 k——光波矢，k 为光波波长 ds’——源点 P '处的面元

功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的 振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位 臵处的振幅和相位分布。
1) 波传到的任意点都是子波的波源 2) 各子波在空间各点进行相干叠加 概括为： 波面上各点均是相干子波源
惠－菲原理提供了用干涉解释衍射的基础
菲涅耳发展了惠更斯原理 从而深入认识了衍射现象 它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础
二. 惠更斯－菲涅耳原理
' u' ( P' )，则空间任一 设波阵面S上任一源点 P的光场复振幅为 观察点P 的光场复振幅 u ( P)由下列积分式计算：
四. 积分方程解的物理意义 (1)本征函数umn 和激光横模 本征函数 umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分 布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光 谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫 做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。
图3-3 横模光斑示意图
u j 1 1
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为 1 argu j 1 arg u j arg 自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L 所决定的几何相移，它们的关系为 kL 附加相移 1 1 mn kL arg arg mn
稳态场分布的形成:可看成光在两镜面间往 返传播的结果!
方 法
一个镜面上的场
另一个镜面上的场
求解衍射积分方程!
3.5.1 自再现模
一、开腔模的一般物理概念 1、理想开腔模型 两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。
可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！
2、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗， 其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！ 二、自再现模概念 1.模: 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态

(1 cos )ds'
(3-5)
L, R a 所以作两点近似处理：
a——反射镜的线度
∴cos =1 ， 1+ cos =2
L——腔长 R——反射镜曲率半径
① ∵ 很小
② ≈ L （不同的腔面做不同的近似） 将以上近似代入(3-5)，得到自再现模所满足的积分方程
（不受衍射影响的稳态场分布函数）