高中数学新授课教案

高中数学新授课教案

【课题】基本不等式的证明（第一课时）

【教学目标】

1．知识与技能：

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

2．过程与方法：

通过实例探究抽象基本不等式。

3．情态与价值：

通过本节的学习，体会数学来源于生活，培养学生数学学习的兴趣，激发学生探究新知的热情。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式(0,0)2

a b ab a b +≤

≥≥的证明过程。 【教学难点】 基本不等式(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥等号成立条件。 【教学设想】 通过问题情境和学生活动，激发学生探求新知的兴趣。

【教学过程】

一、 情景导入

两个正数,a b 的等差中项是2

a b +；两个正数,a b 的等比中项是a b ±⋅； 在数学中，对两个正数,a b ，我们称2

b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数.

二、设疑释疑

设疑：两个正数,a b 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？ 探究不等关系：

请同学们拿出两张正方形的纸，并把它们折成两个等腰直角三角形，假设两个正方形的面积分别为a 和b ,计算一下两个三角形的面积和。如果再构造一个分别以,a b 为长和宽的矩形，它的面积是多少？ 你能发现什么结论？

释疑：发现的不等关系是：2

a b ab +≤（当且仅当a b =时取等号）。 如何证明这个不等式？（板书证明过程）

证法一：（比较法）

2

a b ab +- 221[()()2]2

a b ab =+-

21()02

a b =-≥， 当且仅当a b =，即a b =时，取等号“=”。

证二：（分析法）

要证 2

a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，

只要证 02a ab b ≤-+，

只要证 20()a b ≤-， 因为最后一个不等式成立，所以2

a b ab +≤成立，当且仅当a b =时取等号“=”。 证三：（综合法）对于正数,a b ，有

2()0a b -≥，

20a b ab ⇒+-≥，

2a b ab ⇒+≥，

2

a b ab +⇒≥。 提炼1：

如果,a b 是正数，那么2

a b ab +≤（当且仅当a b =时取等号）； 当0,0a b ≥≥时，这个不等式仍然成立； 我们把(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥称为基本不等式。 思考： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB

即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为

2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 因此：基本不等式(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥几何意义是“半径不小于半弦”。 三、例题精讲

例1 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：

（1）12a a +

≥； （2）2b a a b +≥。

证明：

（1）∵,a b 为正数，∴,b a a b 也为正数，由基本不等式得22b a b a a b a b

+≥⋅= （当且仅当a b =时取等号）

∴原不等式成立。

（2）∵1,a a 均为正数，由基本不等式得1122a a a a

+≥⋅=，（当且仅当a b =时取等号）

∴原不等式成立。

提炼2：

使用基本不等式应该注意什么?

（1）基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥；

（2）当且仅当a b =时取“=”。

四、课堂检练

课堂检练1：

已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥。 分析：对于此类题目，选择定理：

ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a ，b ，c 都是正数

∴a ＋b ≥2ab ＞0（当且仅当a =b 时取等号）

同理：b ＋c ≥2bc ＞0 （当且仅当c =b 时取等号）

同理：c ＋a ≥2ac ＞0 （当且仅当a =c 时取等号）

∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc

（当且仅当a =b=c 时取等号）

即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ,

∴原不等式成立。

提炼3： 基本不等式(0,0)2a b ab a b +≤

≥≥的几个变形： （1）(0,0)2

a b ab a b +≥≥≥； （2）2(0,0)a b ab a b +≥≥≥；

（3）2(

)(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥。 课堂检练2： 判断下列不等式是否成立：

（1）1222a a

+≥； （2）1lg 2(1)lg a a a

+≥>； （3）1sin 2(0)sin 2πααα+

><<。 五、小结评析

教师引导，学生归纳：

（1）我们知道了

2

b a +是实数a 、b 的算术平均数，ab 是两个正数的几何平均数； （2）我们研究了2

b a +与ab 的关系，以及等号成立的条件； （3）理解了(0,0)2a b ab a b +≤≥≥是基本不等式。 教师点评，为下节课埋下伏笔： 基本不等式(0,0)2a b ab a b +≤

≥≥是我们解题的重要工具。那么你认为基本不等式(0,0)2

a b ab a b +≤≥≥能在哪些数学问题中发挥它作用呢？ 请同学课后先自行研究，下节课我们请同学们展示自己的研究成果。