第5章_减治法(完)汇总

舍弃15之后元素，{11,13,15}
舍弃10之前元素， {10,15,20}
{11,13,15}
{10,15,20}
舍弃13之前元素，{13,15} 舍弃15之后元素，{10,15}
{13,15} 舍弃13之后元素，{13}
{10,15} 舍弃10之前元素，{15}
{13}
{15}
第5章 减治法
2020/10/2
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5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
1. 循环直到序列A和序列B均只有一个元素 1.1 a = 序列A的中位数； 1.2 b = 序列B的中位数； 1.3 比较a和b，执行下面三种情况之一： 1.3.1 若a=b，则返回a，算法结束； 1.3.2 若a<b，则在序列A中舍弃a之前的元素， 在序列B中舍弃b之后的元素，转步骤1； 1.3.3 若a>b，则在序列A中舍弃a之后的元素， 在序列B中舍弃b之前的元素，转步骤1；
2. 序列A和序列B均只有一个元素，返回较小者；
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算法设计与分析
int SearchMid(int A[ ], int B[ ], int n)
{
int s1 = 0, e1 = n - 1, s2 = 0, e2 = n-1;
//初始化两个序列的上下界
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算法设计与分析
第5章 减治法
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第5章 减治法
5.1 减治法的设计思想 5.2 查找问题中的减治法 5.3 排序问题中的减治法 5.4 组合问题中的减治法
算法设计与分析
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5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2） 的子问题的解之间具有关系： （1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问 题中； （2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在 某种对应关系。
由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间 存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模 的子问题就可以得到原问题的解。
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5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
原问题 的规模是n
子问题 的规模是n/2
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子问题的解 原问题的解
第5章 减治法
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O (nlog2n)
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5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
减治法只对一个子问题求解，并且不需要进行 解的合并。应用减治法（例如减半法）得到的算法 通常具有如下递推式：
0
n 1
T (n) T (n / 2) 1 n 1
所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率 是很高的，一般是O(log2n)数量级。
if (A[mid1] < B[mid2])
//第②种情况
{
if ((s1 + e1) % 2 == 0)
s1 = mid1;
else
s1 = mid1 + 1;
e2 = mid2;
}
清华大学出版社 else {
if ((s2 + e2) % 2 == 0) s2 = mid2;
else s2 = mid2 + 1;
对比分治法：
T
(n)
g(n) 2T (n / 2)
f
(n)
n足够小
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算法设计与分析
一个简单的例子—两个序列的中位数
问题描述：一个长度为n（n≥1）的升序序列S，处在 第n/2个位置的数称为序列S的中位数 。两个序列的中
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算法设计与分析
例：计算an的值，应用减治技术得到如下计算方法：
a
an
(an 2 )2
(a( n-1) 2 )2 a
n 1 n 1且是偶数 n 1且是奇数
O (log2n)
应用分治法得到an的计算方法是：
an
a
n
a 2 an
2
n 1 n 1
位数是他们所有元素的升序序列的中位数。现有两个 等长升序序列A和B，试设计一个在时间和空间两方面 都尽可能高效的算法，找出两个序列的中位数。
A={11, 13, 15, 17, 19}, B={2, 4, 10, 15, 20}，则中位数为13
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e1 = mid1;
} } if (A[s1] < B[s2]) return A[s1]; else return B[s2]; }
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5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
对于两个给定的序列A={11, 13, 15, 17, 19}, B={2, 4, 10, 15, 20}，求序列A和B的中位数的过程。
步骤
操作说明
序列A
序列B
1 初始序列 2 分别求中位数
3 15>10，结果在[10, 15]之间
5.1 减治法的设计思想
算法设计与分析
想法：分别求出两个序列的中位数，记为a和b；比较a 和b，有下列三种情况： ① a = b：则a即为两个序列的中位数； ② a < b：则中位数只能出现在a和b之间，在序列A中 舍弃a之前的元素得到序列A1，在序列B中舍弃b之后的 元素得到序列B1； ③ a > b：则中位数只能出现在b和a之间，在序列A中舍 弃a之后的元素得到序列A1，在序列B中舍弃b之前的元 素得到序列B1； 在A1和B1中分别求出中位数，重复上述过程，直到两 个序列中只有一个元素，则较小者即为所求。
int mid1, mid2;
while (s1 < e1 && s2 < e2)
//循环直到区间只有一个元素
{
mid1= (s1 + e1)/2;
//序列A的中位数的下标
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mid2 = (s2 + e2)/2;
//序列B的中位数的下标
if (A[mid1] == B[mid2]) return A[mid1]; //第①种情况
4 分别求中位数 5 13<15，结果在[11, 15]之间 6 分别求中位数 7 10<13，结果在[10, 13]之间 8 长度为1，较小者为所求
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{11, 13, 15, 17, 19}
{2, 4, 10, 15, 20}
{11, 13, 15, 17, 19}
{2, 4, 10, 15, 20}