第15讲 光场与物质相互作用的经典理论

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第15讲 15讲
15.1 光场与物质的相互作用
• 1 光场与物质相互作用的理论体系
– 经典理论 光场：Maxwell方程 原子体系：经典电偶极子； 方程； 光场：Maxwell方程；原子体系：经典电偶极子； – 半经典理论 光场：Maxwell方程 原子体系：量子理论描述； 方程； 光场：Maxwell方程；原子体系：量子理论描述； – 量子理论 光场：量子理论；原子体系：量子理论； 光场：量子理论；原子体系：量子理论； – 速率方程理论 简化的量子理论； 简化的量子理论；
–χ(1)是线性极化率，为二阶张量 是线性极化率， –χ(2)是二次非线性极化率，为三阶张量 是二次非线性极化率， –χ(3)是三次非线性极化率，为四阶张量 是三次非线性极化率， 1 PL = P E ( ) PNL = P E ( 2) + P E (3) + ⋅⋅⋅ –上式中： 上式中： –其中的χ(i)仅与物质的特性有关，与场强无关。 其中的χ 仅与物质的特性有关，与场强无关。
−
t 2τ
e
iω0t
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 3、受激吸收和色散现象的经典理论
– 物质与电磁场相互作用时，电磁场引起原子极 物质与电磁场相互作用时， 表现出感应极化强度； 化，表现出感应极化强度； – 原子极化引起介质的介电常数ε的变化； 原子极化引起介质的介电常数ε的变化； –介电常数变化引起介质折射率的变化； 介电常数变化引起介质折射率的变化； –折射率η的变化会引起波矢k的变化； 折射率η的变化会引起波矢k的变化； –这种由原子极化造成的折射率和波矢变化会表 现为介质对电磁波的吸收和色散； 现为介质对电磁波的吸收和色散；
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 0、电介质的极化
– 电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部 电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统， 存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场； 存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场； – 当考虑电介质时，电磁场中主要起作用的是电场分量； 当考虑电介质时，电磁场中主要起作用的是电场分量； – 电介质由原子组成，原子所包含的电荷可堪称该区域 电介质由原子组成， 中某点各级多集资的叠加——单极子、偶极子、 ——单极子 中某点各级多集资的叠加——单极子、偶极子、四级 子等。 子等。 – 原子与电磁场的作用表现为电磁场与多极子系统的作 用。
γ
e
• 谐振子的电磁辐射对应于自发辐射； 谐振子的电磁辐射对应于自发辐射； • 可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为： 可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为：
τ rad = 1/ γ
− t 2 iω0t
• 则自发辐射的电场强度可以表示为： 则自发辐射的电场强度可以表示为：
E = E0 e
γ
e
= E0 e
= E0 e
i (ωt − kz )
= E0 e
−i
ω
c
ε ' µ 'z
e
iωt
e iωt x "+ γ x '+ ω0 x = − E ( z )e m
2
由于存在 电场而多 出的感应项
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 取自由振荡时的特解： x(t ) = x0 e 取自由振荡时的特解： • 电偶极子的简谐运动方程的解应该包含两部分，一个是无 电偶极子的简谐运动方程的解应该包含两部分， 光场时的自由阻尼振荡项；另一个是方程的特解， 光场时的自由阻尼振荡项；另一个是方程的特解，代表了 在光场作用下振子发生的偏离自由振荡的位移； 在光场作用下振子发生的偏离自由振荡的位移； • 将特解带入方程，可以求出x0: 将特解带入方程，可以求出x
( )
( ) ( )
• 本课程考虑光频电磁场与物质的相互作用时，只 本课程考虑光频电磁场与物质的相互作用时， 考虑介质的共振线性极化。 考虑介质的共振线性极化。
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 1、光与物质相互作用的经典理论
– 经典理论中的四个基本假设： 经典理论中的四个基本假设： – a、原子核和核外运动电子所构成的原子简化 为一个经典简谐振子； 为一个经典简谐振子； – b、原子中的电子与原子核构成一个电偶极子； 原子中的电子与原子核构成一个电偶极子； – c、忽略电磁场中磁场分量的影响； 忽略电磁场中磁场分量的影响； – d、被极化的介质会对入射光场产生反作用， 被极化的介质会对入射光场产生反作用， 影响其频率、振幅和相位等， 影响其频率、振幅和相位等，只考虑线性极化 效应； 效应；
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
e v' • 电动力学中给出的结论，自发辐射的总功率为： 电动力学中给出的结论，自发辐射的总功率为： P= 其中v 为电子运动加速度； 其中v’为电子运动加速度； 6πε 0 c3 • 电子在单位时间内损失的能量等于辐射对电子的反作用力（即自发辐 电子在单位时间内损失的能量等于辐射对电子的反作用力（ 射阻尼力）在单位时间内作的负功： 射阻尼力）在单位时间内作的负功： e 2 v '2 FS v = − • 在t1-t2时间间隔内的辐射损失为： 时间间隔内的辐射损失为： 6πε c3
2 2
∫
t2
t1
t2 e v' e e Fs vdt = ∫ − dt = − v 'v + 2 3 t1 t1 6πε 0 c3 6πε 0 c 6πε 0 c t2 t2 e2 e2 ∫t1 Fs − 6πε 0c3 v " vdt = − 6πε 0c3 v ' v t1
iωt
发生共振时ω ≈ ω0 −eE ( z ) / m −eE ( z ) / m x0 = x0 = (ω02 − ω 2 ) + iγω ω02 − ω 2 = (ω0 + ω )(ω0 − ω ) = 2ω0 (ω0 − ω ) 2ω0 (ω0 − ω ) + iγω0
• 则一个原子的感应极矩： 则一个原子的感应极矩：
+
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 假设没有其它力作用在电子上，则电子运 假设没有其它力作用在电子上， 动方程为： 动方程为： mx "+ kx = 0 k为简谐振子的弹 性系数， 为电子质量， 性系数，m为电子质量，这个齐次二阶常 系数微分方程为一维线性谐振子方程。 系数微分方程为一维线性谐振子方程。 • 其解为简单的无阻尼振荡： 其解为简单的无阻尼振荡： iω t χ ( t ) = χ 0e
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• B、电场为强场
– 物质为非线性极化，此时的极化系数： 物质为非线性极化，此时的极化系数：
P = PL + PNL = P E ( ) + P E (
1
( ) ( ) ( )
2)
+ P E(
3)
1 2 3 + ⋅⋅⋅ = ε 0 χ ( ) ⋅ E + χ ( ) : EE + χ ( ) ⋮ EEE + ⋅⋅⋅
ne 2 / m P( z , t ) = np ( z , t ) = E ( z, t ) 3ω0 (ω0 − ω ) + iγω0
0
k • 其中 ω0 = 为谐振频率 m
1 2
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• B、原子经典简谐振子模型
– 运动电荷能够激发电磁场，另一方面电磁场对电荷有 运动电荷能够激发电磁场， 反作用力， 反作用力，要完全求解电荷与电磁场系统的电动力学 问题，需要对两者同时考虑。 问题，需要对两者同时考虑。 – 当电子在电磁场中运动时，会辐射电磁场，其一部分 当电子在电磁场中运动时，会辐射电磁场， 能量被电磁场带走，因而电子的运动必然受到阻尼， 能量被电磁场带走，因而电子的运动必然受到阻尼， 这种由辐射电磁场造成的能量损失被称为辐射阻尼。 这种由辐射电磁场造成的能量损失被称为辐射阻尼。 – 当考虑自发辐射辐射阻尼时，电子的运动方程表示为： 当考虑自发辐射辐射阻尼时，电子的运动方程表示为： mx " = kx + FS – FS为电子辐射出的电磁场对其自身的反作用力。 为电子辐射出的电磁场对其自身的反作用力。
mx "+ kx =
描述该运动： 描述该运动： x ~
e2 6πε 0 c
3
x "'
x "' = −ω0 2 x '
• 由于阻尼力远小于恢复力，因此仍然可以用简谐振动解来 由于阻尼力远小于恢复力，
x0 eiω0t
e 2ω0 2 • 其中γ为经典辐射阻尼系数： γ = 其中γ为经典辐射阻尼系数： 6πε 0 c3 m
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 激光与原子系统的作用：激光光场与电偶极子相互作用。 激光与原子系统的作用：激光光场与电偶极子相互作用。 • 用感应偶极矩表征极化的大小： p 用感应偶极矩表征极化的大小：
=el
• 其中e为电子电荷绝对值，|l|的大小为正负电荷间的距离， 其中e为电子电荷绝对值，|l|的大小为正负电荷间的距离 的大小为正负电荷间的距离， 电偶极矩为矢量，方向由负电荷指向正电荷； 电偶极矩为矢量，方向由负电荷指向正电荷； • 显然，场强越强，电荷受到场的作用力越大，电偶极矩也 显然，场强越强，电荷受到场的作用力越大， 越大； 越大； • 宏观上用电极化强度来描述介质的极化程度： 宏观上用电极化强度来描述介质的极化程度：
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 原子在电磁场中的感应偶极矩
– 沿z轴传播的平面电磁波： 轴传播的平面电磁波：
E ( z , t ) = E ( z )e
iωt
µ – 其中 ε ' = ε / ε 0 为介质相对介电常数； ' = µ / µ0 为介 为介质相对介电常数； 质相对磁导率，一般的非磁性介质中μ’=1； 质相对磁导率，一般的非磁性介质中μ’=1； –如果介质原子只包含单个电子可，则电场作用在电子 如果介质原子只包含单个电子可， 上的力为：-eE(z,t)，则简谐运动方程变成： 上的力为： eE(z,t)，则简谐运动方程变成：
P=
∑p
i
i
• 表示的是单位体积内电偶极矩的矢量和。 表示的是单位体积内电偶极矩的矢量和。
∆V
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• A、电场强度较弱时
9 – 此时电场：E << Eatom，Eatom ≈ 10 V / cm 此时电场： – 介质极化是线性极化
PL = ε 0 χ L E
– 其中的PL为电极化强度，与电场强度E成正比； 其中的P 为电极化强度，与电场强度E成正比； –χL为线性电极化率； 为线性电极化率； –ε0为真空中的介电常数，在各向同性介质中 为真空中的介电常数， 是标量，各项异性介质中是二阶张量； 是标量，各项异性介质中是二阶张量；
t2
2
2
2
2
0
∫
t2
t1
vdv '
• 当取t2-t1为一个振荡周期时，上式右边为零，则可以得到： 当取t 为一个振荡周期时，上式右边为零，则可以得到：
Fs =
e2
6πε 0 c
3
v" =
e2
6πε 0 c
3
x "'
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 当存在辐射阻尼时，电子的运动方程改写为： 当存在辐射阻尼时，电子的运动方程改写为：
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 2、原子的自发电偶极辐射
– A、简谐振子模型 简谐振子模型就是用经典力学中 的简谐振动来描述原子内部电子 运动的模型。 运动的模型。 该模型认为原子中的电子被与位 移成正比的弹性恢复力束缚在某 一平衡位置(x=0)附近振动 附近振动， 一平衡位置(x=0)附近振动，若偏 移位置为x 则其会受到一个f=移位置为x，则其会受到一个f=-kx 的恢复力。 的恢复力。
e2 E ( z ) / m p ( z , t ) = −ex( z , t ) = eiωt 2ω0 (ω0 − ω ) + iγω0
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 当忽略原子间相互作用的前提下，可以认 当忽略原子间相互作用的前提下， 为所有的原子在外加电磁场作用下产生同 样的极化，此时介质的感应电极化强度： 样的极化，此时介质的感应电极化强度：
• 可以求出方程的解为： 可以求出方程的解为：
x "+ γ x '+ ω0 2 x = 0
γLeabharlann Baidu
x (t ) = x0 e
−
2
t
e
iω 0 t
15.2 光场与物质相互作用的精典理论
• 此时电偶极矩为： 此时电偶极矩为：
− t 2 iω0t
p(t ) = −ex(t ) = −e
γ
e
= p0 e
− t 2 iω0t