高中数学必修五解三角形专题
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解三角形
【知识要点】
1.正弦定理：
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
. 2． 余弦定理：
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 3.三角形面积公式：111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B === 4． 三角形中的常用结论
(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π, ()()C B A C B A cos cos ,sin sin -=+=+
(2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C .
5.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．
6．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
7．方向角
相对于某一方向的水平角(如图③)．
图③
(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．
(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.
(3)其他方向角类似．
一、选择题：
1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）
A ．310+
B ．()1310-
C ．13+
D ．310
2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）
A ．3
B ．123
C ．3或23
D ．2
3. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为
（ ）
A ．41-
B ．41
C ．32
- D ．32
4.在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为（ ）
A.直角三角形 B .锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
5．在ABC ∆中，已知()()()a c a c b b c +-=+，则A ∠为（ ）
A ．300
B ．450
C ．600
D ．120
6. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63 B 6
2 C 1
2 D 3
2
7.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A 90°
B 120°
C 135°
D 150°
8. △ABC 中，cos cos cos a
b
c
A B C ==，则△ABC 一定是（ ）
A 直角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
9. △ABC 中，8b =，83c =，163ABC S =，则A ∠等于（ ）
A 30
B 60
C 30或150
D 60或120
10.在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ）
A.60° B .45° C.120 D.30°
11.在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于（ ）
A. B .2 C.+1 D.(+1)
12. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（ ）
A ．14
B ．142
C ．15
D ．152
13.已知三角形ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C ，则sin A sin C 等于（ ）
A.cos 2B
B.1-cos 2B
C.1+cos 2B
D.1+sin 2B
14. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.45°
15.△ABC 中,A =60°,b =1,这个三角形的面积为
,则△ABC 外接圆的直径为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1.已知在△ABC 中，a =10,b =5,A =45°,则B = .
2.在△ABC 中,a =1,b =1,C =120°则c = .
3.在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为 .
4.在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为
5.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,
B =AB
C ∆的面积为32
，则b =____. 6.在△ABC 中，B =,C =3,B =30°，则A =
7.在△ABC 中，a +b =12,A =60°，B =45°，则a = ,b =
8. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
9.在△ABC 中，已知503b =，150c =，30B =，则边长a = 。
10. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
三、解答题
1.已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B .