人教版高中数学必修二同步练习,平面与平面垂直的判定

人教版高中数学同步练习

2.3.2平面与平面垂直的判定

一、基础过关

1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个

C．一个或无数个D．可能不存在

2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面经过另一个平面的一条垂线

C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的

3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()

①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.

A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．

6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.

8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.

(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升

9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32

，则二面角B －AC －D 的余弦值为

( )

A.13

B.12

C.223

D.

32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立

的是

( )

A ．BC ∥面PDF

B ．DF ⊥面P AE

C ．面PDF ⊥面ABC

D ．面P A

E ⊥面ABC

11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，

点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .

12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点

D 、

E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .

(1)求证：BC ⊥平面P AC .

(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展

13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝

2，BC ＝ 6.

(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．

答案

1．C 2.D 3.B 4.B 5．45° 6．5

7．证明 因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD . 又BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥DC .

又PD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面PDC .

在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF ∥BC ，所以GF ⊥平面PDC . 又GF ?平面EFG ， 所以平面EFG ⊥平面PDC .

8．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知， △BCD 是等边三角形．

因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD . 又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB . 又因为P A ⊥平面ABCD ， BE ?平面ABCD ，

所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面P AB . 又BE ?平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面P AB .

(2)解 由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ?平面P AB ，

所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．

在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝P A

AB ＝3，则∠PBA ＝60°.

故二面角A —BE —P 的大小是60°. 9．B 10．C

11．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC .

因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC . 所以EF ∥平面ABC .

(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .

又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ，所以平

面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .

12．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .

又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .

(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC . 又∵AE ?平面P AC ，PE ?平面P AC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .

∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.

∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，

故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，

∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .

∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.

∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .

∴BD ＝1

2AC ＝2＝AD .

∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .

(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .

又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．

在△PED 中，DE ＝12BC ＝6

2，PD ＝3，∠PDE ＝90°，

∴tan ∠PED ＝PD

DE ＝ 2.

∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.