苏教版七年级数学第二章 有理数 知识点及习题

例 1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动 5 个单位长度，再向右移 动 3 个单位长度，这时笔尖停在“ 2 ”的位置上． 用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为：
算式：________________________
练一练 计算并注明相应的运算法则： （1） (15) (3) ； （2） (180) (20) ； （3） 5 (5) ； （4） 0 (2) ．
正整数 整数 零 负整数 有理数 分数 正分数 负分数
无理数
或
正整数 正有理数 正分数 有理数 零 负整数 负有理数 负分数
问一问：是不是所有的数都是有理数呢？ ※ 如果大正方形的边长为 a，那么 a2＝2．a 是有理数吗？
(2)符号是“＋”号，绝对值是
3、用“＜”或“＞”填空： (1) 12.3 (3)} 8
12 ；
8；
(2) (2.75) (4) 0.4
(2.67) ； (0.4) ．
五、有理数的加法与减法 1、有理数的加法 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值相等时，和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与 0 相加，仍得这个数．
无理数定义:无限不循环小数叫做无理数．
3、有理数与无理数区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
小试牛刀
1、判断题. (1)无理数都是无限小数.
(2)无限小数都是无理数. (4)两个无理数的和是无理数.
(3)有理数与无理数的差都是有理数.
二、有理数和无理数 有理数 我们学过整数（正整数、负整数、零）和分数（正分数、负分数） ．实际上， 所有整数都可以写成分母为 1 的分数的形式．如 有理数的定义：我们把能写成分数形式
5 4 0 5= , 4= , 0= . 1 1 1
m （m、n 是整数，n≠0）的数叫做 n
有理数．
问一问:有限小数和无限循环小数是有理数吗？ 根据有理数的定义，有理数可以进行如下的分类
一、正数与负数
在小学里，我们学过正数、负数、零．你知道下边边图片中各数的意义吗？
分别说出 8844.43、－154、－117.3、－0.102%的意义。
正数与负数的意义 1、意义： 像 8848.43、 100、 357、78Biblioteka Baidu这样的数叫做 －117.3、－0.102%这样的数叫做 0 既不是 ；像－154、－38.87、
正数集合{ 2．填空： （1） 如果买入 200kg 大米记为＋200kg， 那么卖出 120kg 大米可记作__________； }；负数集合{ }．
（2）如果－50 元表示支出 50 元，那么 ＋40 元表示___________； （3）太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面 11 034m，它的海拔高度可表示 为____________． 3．用正数或负数表示下列问题中的数： （1）从同一港口出发，甲船向东航行 142 km，乙船向西航行 142km； （2）从同一车站出发，A 车向北行驶 50km，B 车向南行驶 40km； （3）拖拉机加油 50L，用去油 30L．
②规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示） ，向左为负方向． ③取适当长度（如 1cm）为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度
取一点，依次表示 1，2，3……从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示 －1，－2，－3……
按照要求，同步完成画数轴的过程，如下图：
数轴三要素为：原点、正方向、单位长度． 3、用数轴上的点表示有理数 在数轴上，用原点右边且到原点的距离是 1.5 个单位长度的点表示 1.5，用 原点左边且到原点的距离是 2.4 个单位长度的点表示－2.4…… 例1 分别写出数轴上 A、B、C 表示的数：
例2
在数轴上画出表示下列各数的点：
3 1 1.5,3, ,1.5, 3 . 5 2
有理数都可以用数轴上的点表示．
4、用数轴上的点表示无理数 无理数可以用数轴上的点表示吗？ 例 3、面积为 2 的正方形的边长 a 是无理数，如何在数轴上画出表示 a 的点？ 1．将边长为 a 的正方形放在数轴上（如图） ； 2．以原点为圆心，a 为半径，用圆规画出数轴上的一个点 A． 点 A 就表示无理数 a． 按要求画出表示 a 的点，如图．
0 C 以上的温度用正数表示， 0 C 以下的温度用负数表示．日常生活中，许
多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．
例 2 （1）如果向北走 8km 记作＋8km，那么向南走 5km 记作什么？ （2）如果粮库运进粮食 3t 记作＋3t，那么－4t 表示什么？
应用二、整数与分数的扩展 1、 2、 、 、 、 统称为整数． 统称为分数．
7 _________, 6 _________； 4 （2） 5 _______， 5 的相反数是_______， 10.5 _________，
（1） 2.3 _______， （3） 10.5 的相反数是_______， （4） 0 _______． 2、填空： (1)
练一练 1、分别写出数轴上 A、B、C、D、E 表示的数：
2、在数轴上画出表示下列各数的点：
5.5， 3.5， 2， 3， 0.5.
5、数轴上的点表示的数的大小关系：
例 4、在数轴上画出表示 0、5、 3 、 2 的点，你能比较这几个数的大小吗？ 如图，画出数轴，并用数轴上的点表示 0、5、 3 、 2 ．
有理数相加相关规律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
ab ba
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不 变。
（a b） c a (b c)
(1)上面式中字母 a、b、c 分别表示任意的一个有理数，在同一个式子中，相同 字母只能表示同一个数； (2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况．根据有理数加法的运 算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以先把其中几个 数相加． 例2 计算：
有理数讲义
知识点
1、什么是正数和负数及正数与负数的意义。 2、了解什么是有理数和无理数及会对有理数的分类。 3、数轴的三要素是什么、怎么样在数轴上表示有理数和无理数以及怎么利用数轴比较数的 大小
4、了解一个数的绝对值与相反数的意义，会求已知数的绝对值与相反数以及用 绝对值比较两个负数的大小． 5、有理数的加法与减法 6、有理数的乘法与除法 7、有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；用科学记数法表示较大的数． 8、有理数的混合运算
4 例 1、 求 3、－4.5、 的相反数． 7 3、利用相反数的意义化简一个数的符号 一般的，a 的相反数是－a，－a 的相反数是 a，即－（－a）＝a．
表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．如－5 的相反 数可以表示为－（－5） ，而我们知道－5 的相反数是 5，所以－（－5）＝5．
7 7 _________， 的相反数是________ 4 4
2 的符号是____， 绝对值是______； 10.5 的符号是______， 绝对值是______； 5
3 的数是______符号是“－”号， 7 (3)绝对值是 9 的数是______；符号是“－”号，绝对值是 0.37 的数是______．
0．
练一练 1、求下列各数的绝对值：
6， π， 3， 2.7， 0.
2、已知一个数的绝对值是
5 ，求这个数 2
3、用数轴上的点表示下列各数，并说出这些数的绝对值：
3 5, , 0.4, 0,5, 2. 2 4、已知一个数的绝对值是 2，求这个数.
2、相反数的定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另 一个的相反数． 如图，观察数轴上点 A、点 B 的位置及它们到原点的距离，你有什么发现？
1 2 、 将 下 列各 数填 入相 应括 号 内： 6 ， 9.3 ， ， 42 ， 0，-0.33 ， 0.333 ， 6 1.414 213 56 ，－2π， 3.303 003 000 3 ， -3.141 592 6 ．
正数集合：{ 正有理数集合：{ 负有理数集合：{ }；负数集合：{ }； }． }；
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
※ 归纳得出：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数．
小试牛刀 1、比较下列各组数的大小： （1）5 和 0； （3）2 和一 3；
1 （2） 和0 ； 2 （4） 3、0、1.5 ．
2、
在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序
例2
3 化简：－（＋2） ，－（＋2.7） ，－（－3） ，－（－ ） ． 4
练一练： 1．写出下列各数的相反数： 2 0，58，－4，3.14，－ ． 3 2．在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点： －4，0.5，3，－2．
3．填空： (1) (7) 是_____的相反数， (7) ＝_______； (2) (4) 是_____的相反数， (4) ＝______． 4．化简： (2.5),(2.5),(2.5),(2.5). 小试牛刀 1、根据绝对值与相反数的意义填空：
练 习 怎样用数轴上的点表示圆周率π？
1．画一个直径为 1 的圆片，将圆片上的点 A 放在原点处； 2．把圆片沿数轴向右滚动一周，点 A 到达的位置点 A′表示的数就是π 按要求画出表示π的点，如图．
※ 小结：有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一 点都表示一个有理数或无理数．
1 1 把下列各数填入相应的集合内： 99.9 ，6， ，0， -101 ，+3 ， 1.25 ， 3 4 5 0.01，＋67， 10% ， ，2009， 18 ． 13
例3 整数集合{ 正数集合{ }；分数集合{ }；负数集合{ }； }．
小试牛刀
1．把下列各数填入相应的集合内：
3 12 1 5, 7.25, , 0, , 0.32, ． 4 5 2
你会用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置吗？
练一练： 你能说出数轴上的点 A、B、C、D、E 所表示的数的绝对值吗？
2、绝对值的表示方法 通常， 我们将数 a 的绝对值记为 a .这样例 1 的结论可以写成 4 ＝4， 3.5 ＝3.5 ※ 小结：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
连接起来：
1 ， 0， 2， －3， 5， 1.5. 2
1 3 1 3、 数轴上的点 A 和 B 分别表示 － 与 － ， 哪一个点离原点的距离较近？ － 与 2 4 2 3 － 哪一个数较大？ 4
四、绝对值与相反数
1、绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对 值． 想一想：小明家在学校正西方 3 km 处，小丽家在学校正东方 2 km 处，他 们上学所花的时间与各家到学校的距离有关．
3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ） （A）面积为 25 的正方形；(B)面积为 16 的正方形；(C)面积为 3 的正方形；(D)面积为 1.44 的正方形. 三、数轴
1、数轴的定义：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 2、数轴的画法： ①画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示 0，我们把这点称为原点．
也不是
2、正数与负数的写法及读法 “＋”读作“ “－”读作“ ” ，如“＋
2 ”读作“ 3
” ，正号通常省略不写； ” ．
” ，如“－117.3”读作“
例1
指出下列各数中的正数、负数。
＋7，－9，
1 9 ，－4.5， 998 ， ，0 ． 3 10
正数：
负数 ：
应用一、用正数、负数表示相反意义的量