平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当

λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，

的夹角。当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与b 的数量积（或内积或点积）

，记作：a ∙b ，即a ∙b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b 在a 上的投影为||cos b θ或

||

a b

a ⋅，它是一个实数，但不一定大于0。 （4）a ∙

b 的几何意义：数量积a ∙b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；

②当，同向时，∙＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =∙==；

当与反向时，∙＝－a b ；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ⋅=

；④||||||a b a b ∙≤。

6、向量的运算：（1）几何运算：①向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设

,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量

与被减向量的起点相同。

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+。如已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。（1）若x ＝

3

π，求向量、的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-

，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21

，

求λ的值（答：1

(1)150;(2)2

或1） ；⑤向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =

+==+。如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么

|3|a b +＝_____； ⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()2121||AB x x y y =

-+-

7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，(()a a λμλμ=，a b b a ∙=∙；

(2)结合律：()(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙；

（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +∙=∙+∙。

提醒：

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(∙≠∙。

8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0。 9、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使1

2PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以定比为

λ的定比分点； （2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时⇔λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时⇔λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ⇔-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为

1

λ

。

（3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP 所成的比为

λ，则