电子科技大学电磁场与电磁波

矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量 线元矢量
r ex x ey y ez z
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量用Hale Waihona Puke Baidu标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A cos
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电磁场与电磁波
1.2.2 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 e , e , ez
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dr ed e d ezdz
面元矢量
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezdldl ez dd
圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev B
ev
B
evz Bz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz )
标积：AvgBv (ev A ev A evz Az )g(ev B ev B evz Bz )
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量
r err
线元矢量 dr erdr e rd ersind
球坐标系
面元矢量 体积元
dSr erdl dl err2sindd dS e dlrdl ezrsindrd dS edlrdl erdrd
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积）
vv v v
v
AgB A B cosAB
B
v
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
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第1章 矢量分析
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点 来确定。
三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐 标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos
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第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
A B A B Az Bz
矢积：Av
v B
ev A
ev A
evz Az ev ( A Bz Az B ) ev ( Az B A Bz )
B B Bz evz ( A B A B )
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1.2.3 球面坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
r, ,
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
vv v vv v vv v Ag(B C) Bg(C A) Cg(A B) v v v vvv vvv A (B C) B(AgC) C(AgB)
dSz ezdlxdly ezdxdy
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
体积元
dV dxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
vv vv v v v vv vv AgB BgA Ag(B C) AgB AgC
2、两个矢量的点积为标量
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第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz