图形变换

采用观察坐标系，投影简单
观察坐标系中的投影变换（2/15）
什么是观察坐标系
View Reference Coordinate或VRC 照相机所在的坐标系
如何建立观察坐标系
坐标原点----聚焦参考点在底片（投影平面）上 的投影，称为观察参考点VRP（View Reference Point)
1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？
显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示对象是三维的 解决方法----投影 三维显示设备正在研制中
2. 如何表示三维物体？
二维形体的表示----直线段,折线,曲线段,多边形区域 二维形体的输入----简单（图形显示设备与形体的维
数一致）
三维图形的基本问题（2/4）
图形变换
图形变换
1. 数学基础 矢量运算 矩阵运算
图形变换采用齐次坐标
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量 用一个n+1维向量来表示。
如向量(x1,x2,…,xn)的齐次坐标表示为 (hx1,hx2,…,hxn,h)，其中h是一个实数
显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次 坐标的h取不同的值都表示的是同一个点， 比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是 二维点[2,1]。
齐次坐标的必要性
A. 它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高 维空间中的一个点集从一个坐标系变换到 另一个坐标系的有效方法。
B. 它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标 中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一 个无穷远点。
C. 方便统一变换
变换具有统一表示形式的优点
便于变换合成 便于硬件实现
Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();
复合变换及变换的模式（4/6）
变换的固定坐标系模式
相对于同一个固定坐标系 先调用的变换先执行，后调用的变换后执行
Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();
复合变换及变换的模式（5/6）
人的思维方式
每次变换产生一个新的坐标系
变换的活动坐标系模式
先调用的变换后执行，后调用的变换先执行 （图形系统一般用堆栈实现）
复合变换及变换的模式（6/6）
Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();
例子
6）复合变换
如果图形要做一次以上的几何变换，那么 可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到 位的变换。复合变换有如下的性质：
二维图形的显示流程图（4/4）
窗口到视区的变换（1/2）
目标
将窗口之中的图形变换到视区中
变换的求法
变换的分解与合成
M wv
T
(um
in
,v
m
in
)
S
(
E E
x x
,
Ev Ey
)T (xmin, ymin)
窗口到视区的变换（2/2）
M wv
T
(um
in
,v
m
in
)
S
(
E E
x x
,
Ev Ey
SH
z
(
shx
,
shy
)
0 0
1 0
shy 1
0 0
0 0 0 1
三维几何变换（5/5）
对称变换
关于坐标平面xy的对称变换
1 0 0 0
SYxy
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
三维变换的一般形式
a11 a12 a13 0
A a21 a22 a23 0
a031
a32 0
a33 0
0 1
平面几何投影（2/12）
投影—照相机模型
选定投影类型 设置投影参数– 拍摄方向、距离等 三维裁剪 –取景 投影和显示 –成像
简单的三维图形显示流程图
平面几何投影（3/12）
平面几何投影及其分类
投影
将n维的点变换成小于n维的点 将3维的点变换成小于2维的点
投影中心(COP:Center of Projection)
坐标系之间的变换
什么是？
建立坐标系之间的变换关系 将图形从一个坐标系中变换到另一个坐标系
中
怎样求？
投影
8.1 三维图形的基本问题 8.2 平面几何投影 8.3 观察坐标系中的投影变换
*投影举例 8.4 三维图形的显示流程图 8.5 三维裁剪
*图形显示过程小结
8.1 三维图形的基本问题（1/4）
A. 复合平移 对同一图形做两次平移相当于将 两次的平移两加起来
复合缩放 两次连续的缩放相当于将缩放操作 相乘：
A. 复合旋转 两次连续的旋转相当于将两次的 旋转角度相加：
A. 缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进 行的各种变换都是以原点为参考点的。如 果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、 旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处， 然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf） 点移回原来的位置。切记复合变换时，先 作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩 阵在左端。
投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限
根据投影 方向与投 影平面的 夹角
根据投影 平面与坐 标轴的夹 角
平面几何投影（6/12）
平面几何投影（7/12）
透视投影
投影中心与投影平面之间的距离为有限 参数：投影方向 例子：室内白炽灯的投影，视觉系统 灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收
)R( )T (xmin, ymin)
窗口区到视图区的坐标变换
实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要 在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗 口区变换到视图区。
比例关系，两者的变换公式为：
二维图形的几何变换
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
其中：对图形进行缩放、旋转、
对称、错切
对图形进行平移
三维图形的基本问题（3/4）
4. 如何产生真实感图形
何谓真实感图形 逼真的 示意的
人们观察现实世界产生的真实感来源于 空间位置关系----近大远小的透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布
解决方法----建立光照明模型、开发真实感图形绘制 方法
三维图形的基本问题（4/4）
投影
整体缩放
二维基本变换（1/3）
平移变换
P P TPFra bibliotekx y
P
x y
T
tx t y
x x tx
y
y
ty
1）平移变换
2）缩放变换
二维基本变换（2/3）
旋转变换
点P(x,y,)的极坐标表示
绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时 针为负）
P R • P
cos sin
复合变换及变换的模式（2/6）
关于任意参照点 Pr (xr , yr ) 的放缩变换
S(xr , yr ; sx , sy ) T (xr , yr ) • S (sx , sy ) •T (xr , yr )
复合变换及变换的模式（3/6）
变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘 法不可交换）
Translate2D(1,0); Rotate2D(45); House();
几何变换
窗口区到视图区的坐标变换 二维图形的几何变换 三维几何变换
二维图形的显示流程图（1/4）
坐标系：建立了图形与数之间的对应联系 世界坐标系(world coordinate) 用户坐标系(user coordinate) 局部坐标系(local coordinate)
二维图形的显示流程图（2/4)
A. 关于（xf，yf）点的缩放变换
绕（xf，yf）点的旋转变换
其它变换(2/6)
关于任意轴的对称变换
三维几何变换
1. 由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩 阵是一个4阶方阵
三维几何变换（1/5）
三维其次坐标
(x,y,z)点对应的齐次坐标为 (xh , yh , zh , h)
xh hx, yh hy, zh hz, h 0
屏幕坐标系(screen coordinate) 设备坐标系(device coordinate)
二维图形的显示流程图（3/4）
窗口
在世界坐标系中指定的矩形区域 用来指定要显示的图形
视区
在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩 形区域
用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小 及位置
窗口到视区的变换
标准齐次坐标(x,y,z,1)
右手坐标系
三维几何变换（2/5）
平移变换
1 0 0 tx
T
(t x
,
t
y
,
tz
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
t
y
tz 1
放缩变换
1 0 0 sx
S
(
s
x
,
s
y
,
sz
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
s
y
sz 1
三维几何变换（3/5）
旋转变换
绕x轴
敛于一点，称为灭点.
灭点的个数?
主灭点:平行于坐标轴的平行线的灭点。
一点透视
两点透视
主灭点的个数由什么决定?
三点透视
特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感 强，看起来更加真实。
平面几何投影（8/12）
平面几何投影（9/12）
平面几何投影（10/12）
平行投影
投影中心与投影平面之间的距离为无限 是透视投影的极限状态