高中数学涂色问题常用技巧

高中数学涂色问题常用技巧

王忠全

涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。

例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？

3有2种涂法；涂1，2，34

4

A=24种涂法。

例2、

有多少种涂法？

法1：

1）

2）恰用四色：同例1，有24种涂法。

共有24+48=72种涂法。

法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。

评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。

一、 区域涂色问题

（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。

例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，3

1）1，3同色，则1，3有1

4

C 种方法，2有13

C

可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2

同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，

5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。

2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有1

2C 种方法，4与1

同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有

)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。

法2：公式法

共有35+3⨯（-1）5=240种方法。

定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。 证明：如图，设有a n 种不同涂法。

其中)1(2

2-==m m A a m

，设1,)1(2

-=-=m m

b m a b n

n n 则 令()r b m r b n n ---

=-1

1

，则r=1， 可知，。m ，m b b n 为公比的等比数列为首项是以数列1

1

111}1{2---=--

这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色”问题。

例4（2003江苏）四种不同颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不同色的涂法共有 种。

解析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要4种颜色，属于保低色，可用公式。把左图等价转化为右图先涂1：有4种方法；余下3色涂5个空（圆形）有（3-1） =30种涂法,由分步计数原理,共有120种涂法.

若用间空涂色,可这样考虑:

1）涂1,有4种方法，余下3种颜色；

2）2、4同色，有1

3C 种涂法；此时，3有2种涂法；5与3同色时，6有1种

涂法（颜色要用完）；5与3不同色时，5有1种涂法，此时6有1种涂法，共有12)11(23=+⨯⨯种涂法；

2、4不同色，有23A =6种涂法；此时3有1种涂法；若5与3同色，6有1种涂法；5与3不同色，6有2种涂法（与4，或3同色）共有211(16⨯+⨯⨯）=18种涂法；

综上所述，由分步计数原理，共有120种涂法评析：分类讨论，种类繁多，要做到不重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能的，关键是要熟练掌

6

2

5

1

3 4

握。

变式：（2003全国）一个行政区分为5个区域，用4种颜色给地图涂色，要求邻居空不同色的不同涂色方法有 种。

例5 例5种？

解析：把图转化为： 1）恰用3色，则1、6；2、5；3、4 2）恰用4色，则1、6；2、5；3、42、5同色，3、4有24A 种涂法，两同色组有22A 种涂法，共有 3）恰用5色，则1、6；2、5；3、43、4，2、

5有44A 种涂法，共有46C 1

3

C 44A 种涂法 4）恰用6色，有66A 种涂法；

P A B C 1 2

3

4

5 6

4

综上所述：共有4080种涂法。

评析，若你很难转化为区域问题，就不要转化，按线段的相对性可做。 四、面涂色问题

同上面说过的方法类似，能转则转，否则用面的相对性求解。

例7、用6种颜色（可选择）给正方体的6个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同的涂法？

解析：图转化为

1）恰用3色，有34A =24种；

2）恰用4色，有23C 44A =72

种

共有96种。

五、恰用色与可选色的联系

设保底色为涂法数为a m ，恰用色涂法数为a n ，则可选色涂法数 B n =a m +a m+1+…+a n

例8、用4种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有多少种涂法

1有3种；2有25有2种，共有4C 4那么，恰用四色有216-96=120种。

法2：1、4或2、4同色，有4821234=⨯⨯⨯⨯种；

D`

C` A` B` D C A B

1、4，（

2、4）不同色，有72

⨯

⨯

⨯种

4=

⨯

3

1

3

2

共有120种。

总之，涂色问题比较复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转化，末两空捆绑等方法，；注意颜色用完与可选的区别。