计算机图形学图形的表示与数据结构(qwh)

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2. 拓朴信息
形体各分量（点、线、面）的数目及其相互间的连接 关系。 平面立体的几何分量之间一共有九种拓扑关系。
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v f f f v 面相邻性 f:{f} f f f v 顶点—面相邻性 v:{f} f f 顶点相邻性 v:{v} v e v 边-面相邻性 e:{f}
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世界坐标系，全局坐标系，用于定义用户整图或最高 层图形结构，与用户定义形体和图素的坐标系一致。
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3.观察坐标系
（VC，Viewing Coordinate System）
在用户坐标系的任何位置、任何方向定义。 作用： 用于指定裁剪空间，确定形体的哪一部分要显 示输出； 通过定义观察（投影）平面，把三维形体的用 户坐标换成规格化的设备坐标。
不规则对象
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规则对象:几何造型、几何模型
能用欧氏几何进行描述的形体，如点、直线、曲线、 平面或实体等。描述的形体都是规则物体。 一个完整的几何模型应包括物体的各部分几何形状及 其在空间的位置（几何信息）和各部分之间的连接关系 （拓扑信息）。
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不规则对象：
不能用欧氏几何进行描述的对象，如山、水、草、 树，烟等自然界对象。 采用过程式模拟（数据放大技术）： 用一个简单的模型以及少量的易于调节的参数 来表示一类对象，不断改变参数，递归调用这一模型
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二维流形指的是对于实体表面上的任意一点，都可以找到 一个围绕着它的任意小的领域，该领域与平面上的一个 圆盘是拓扑等价的。 与圆盘不是拓扑等价的，就是非二维流形。 实体：对于一个占据有限空间的正则形体，如果其表面是 二维流形，则该正则形体为实体。
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物体的表面具有的性质
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1.建模坐标系
（MC，Modeling Coordinate System）
造型坐标系，定义基本图素和图段。定义的形体和 图素经调用可放在用户坐标系中指定的位置，又称局部坐 标系（Local Coordinate）
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2.用户坐标系
（WC，World Coordinate System）
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平面多面体与欧拉公式
简单多面体顶点数Ｖ，边数Ｅ，面数Ｆ满足： Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２ 非简单多面体：Ｈ表示多面体表面上孔的个数，Ｇ表示贯穿 多面体的孔的个数，Ｃ表示独立的，不相连接的多面体数， 满足： Ｖ－Ｅ＋Ｆ－ H＝２（C－G） 不仅适用于平面多面体，还适用于曲面片组成的，与球 拓扑等价的多面体。
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4.规格化设备坐标系
（NDC，Normalized Device Coordinate System）
定义试图区，取值范围是（0.0, 0.0, 0.0） 到（1.0, 1.0, 1.0），通过NDC进行坐标转换可提 高应用程序的可移植性。
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5.设备坐标系
（DC，Device Coordinate System）
第6章
• 提出问题
图形表示与数据结构
• 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同图形对象
• 如何组织图形对象的描述数据以使存储这些数据所要的空间最省，检索、
处理这些数据的速度较快
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把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示不同
图形对象的技术称为造型技术。
有两类图形对象：
规则对象：几何造型、几何模型
最终位置和形状的一组单元实体。 (2)由参数定义的一条(或一组)轮廓线沿一条(或一组)空间参 数曲线作扫描运动而产生的形体。 (3)用代数半空间定义的形体，只适用正则形体。
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段（也称图段）
图形学软件在输出基元和画面之间设置一个中间 数据结构，称为图段。图段是由一组输出基元和一 组性质构成的集合。
• 拓扑运动：允许形体作弹性运动，即在拓扑关系中，对图 形可随意地伸张扭曲。但图上各个点仍为不同的点，决不 允许把不同的点合并成一个点。
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拓扑运动：橡皮绳上的几何学 拓扑等价：即一个图形作弹性运动可使之与另一个图形 重合。 拓扑性质：就是那些与该图形拓扑等价的图形所具有的 性质。
• 环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点
• 确定面的最大外边界的环称之为外环，逆时针方向排序 • 确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环，顺时针方向排 序 • 在面上沿一个环前进，其左侧总是面内，右侧总是面外。
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体：是3维几何元素，由封闭表面围成空间，也是欧氏空间
R3中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。
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光线投影
核心思想：从显示屏幕（投影平面）的每一像素发 射一根光线，求出射线与距离投影平面最近的可见 表面的交点和交点处的表面法矢量，然后根据光照 模型计算出表面可见点的色彩和亮度，生成实体的 光栅图形。
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分类：
边界表示：用一组曲面来描述平面 构造实体几何表示：将实体表示成立方体、长方体、圆 柱体等基本体素的组合，采用并、交、差等运算构造 新的形体 空间分割表示：描述物体的内部性质，将包含一物体的 空间区域划分成一组小的非重叠的连续实体
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1.多边形表面模型
一个平面多面体可用构成边界的一系列平面多边形来表 示，一个多边形又可用构成其边界的一系列边来表示， 一条边又可用两个顶点来表示 1)多边形表 2)平面方程 3 )多边形网格
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6.1.2 几何信息与拓扑信息
• 图形对象及构成它的点、线、面的位置、相互间关系和几 何尺寸等都是图形信息； • 表示图形对象的线型、颜色、亮度以及供模拟、分析用的 质量、比重、体积等数据，是有关对象的非图形信息。
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图形信息又包括：
几何信息：形体在欧氏空间中的位置和大小。 拓扑信息：形体各分量（点、边、面）的数目及其相 互间的连接关系。
直线边:由端点（起点和终点）定界
曲线边：由一系列型值点或控制点表示
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面：是2维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域，由 一个外环和若干个内环界定其范围。
• 一个面可以无内环，但必须有一个且只有一个外环。
• 面有方向性：其外法线矢量方向作为该面的正向。
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环：是有序、有向边（真线段或曲线段）组成的面的封闭边 界。
一步步产生数据量很大的对象。
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不规则对象
常用的方法：
基于分数维理论的随机模型 基于文法的模型 粒子系统模型 非刚性物体模型等
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6.1.1基本图形元素与段的概念
用计算机对图形对象进行分解与综合，即把复杂 的对象看作是由某些简单的对象按某种规则构造出来 的，比较简单的对象又是由更简单的图形对象构造而 成的，分解到最后就是基本图形元素。 二维图形系统中将基本图形元素称为图素或图元， 三维系统中称为体素。
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在自由曲线面的描述中常用三种类型的点：
控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线和
曲面不一定经过的点 型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线和 曲面一定经过的点 插值点 ：为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插 入的一系列点
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边(线)：是1维几何元素，是两个邻面（正则形体）或多 个邻面（非正则形体）的交界。
≥1
≥1
S
R
图4-1 或非门电路构成的R-S触发器
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段是具有逻辑意义的有限个图素或体素及其附加属性的集合，
也就是图段，结构和对象。
图素或体素用数据来描述，段用规则来描述，由规则最终可
找出形成它的所有基本图形元素。
段可以嵌套
图段的常见性质 ：可见性、优先度、突出性、 可选择性
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2.扫描表示（Sweep
Representation）
利用简单的运动规则生成有效实体。 基本原理：将空间中的一个点、一条边或一个面沿某一 路径扫描时，所形成的轨迹将定义一个一维的、二维 的或三维的实体。 两个要素：作扫描运动的基本图形 扫描运动的方式：平移，旋转 扫描表示把复杂物体看成是简单物体运动的结果。
1.连通性：物体表面上的任意两个点都可用实体表面上 的一条路径连接起来． 2.有界性：物体表面可将空间分为互不联通的两部分， 其中一部分是有界的． 3.非自相交性：物体的表面不能自相交． 4.可定向性：物体表面的两侧可明确定义出属于物体的 内侧或外侧． 5.闭合性：由表面上多边形网格各元素的拓扑关系决定 的．一条边有两个顶点等
v
f
v e
e f e
e
面-顶点包含性 f:{v} v v v
面-边包含性 f:{e} e e v e 顶点-边相邻性 v:{e} e e e
e e
e
边-顶点包含性 e:{v}
边相邻性 e:{e:}
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图4-3 平面立体的九种拓扑关系
• 刚体运动：不改变图形上任意两点间的距离，也不改变图
形的几何性质的运动。
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6.1.3 坐标系
对于不同类型的形体、图形和图纸，在输入 输出的不同阶段所需要采用的坐标系不同，以此 来提高图形处理的效率和便于用户理解。
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建模坐标系 用户坐标系 坐标系 观察坐标系 规格化的设备坐标 设备坐标系 图4-4 坐标系的分类 直角坐标系 仿射坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 极坐标系
v1 v2 v3
f1 f 2
面f
e1 e2
图4-2 形体几何分量间的相互关系
边e
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几何信息的二义性
感兴趣的部分：在线划式的输入输出设备中以描绘形状 的轮廓线为主，所以形体顶点的几何信息较为实用； 在光栅扫描型的输入输出设备中主要处理有明暗度和 阴影的图，所以面几何信息较为有用。
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3.构造实体几何法
CSG（Constructive Solid Geometry）:用集合操 作来组合有重叠的实体，由两个实体间的并、交或 差操作生成新的实体。
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优点：体素设置比较齐全，通过集合运算就可以构造出多 种不同的符合需要的实体。
缺点：
集合运算的中间结果难以用简单的代数方程表示； CSG树不能显式地表示形体的边界，所以无法直接 显示CSG树表示的形体。（光线投影）
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1. 几何信息
(1)几何分量的数学表示 点：(x, y, z) 直线：x=(y-y0)/a=(z-z0)/b 平面：ax +by +cz +b=0
二次曲面：孔斯、B样条、Bezier等方法
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(2)几何分量之间的相互关系
f1 f2 f3
点v
v1 v2 e1 e2
是图形输入输出设备的坐标系，也是定义像素或 位图的坐标系。
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6.1.4 几何元素
点是0维几何元素，分端点、交点、切点和孤立点等。 一维：{t} 三维： {x，y, z} 二维：{x，y} 或 {x（t），y（t）} 或 {x（t），y（t），z（t）}
用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接 关系的处理。
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基本图形元素： 图素或图元、体素 图素： 是指可以用一定的几何参数和属性参数描述 的最基本的图形输出元素。 包括点、线、圆、圆弧、椭圆、二次曲线等。
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体素是三维空间中可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，常
有三种定义形式：
(1)从实际形体中选择出来，可用一些确定的尺寸参数控制其
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三维形体的表示
线框模型存在缺陷： 1.表示三维形体具有二义性 2.由于不存在面的信息，容易构成无效形体 3.不能表示出曲面的轮廓线，所以不能正确表示曲面信 息
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实体模型：
也叫实体造型技术，能较容易的产生具有真实感的实 体图像，便于自动生成数控加工数据和自动进行干涉 检查，支持剖切，物性分析以及有限元分析等。
长方体，球体，圆柱体，圆锥体，圆环体等
由轮廓曲线沿指定的轨迹曲线扫描生成的形体
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实体的定义
客观存在的标准： 1.刚性：一个物体必须具有一定的形状 2.维数的一致性：具有连通的内部，不具有悬挂或孤立的 边界 3.占据有限的空间：体积有限 4.边界的确定性：根据物体的边界能区别出物体的内部和 外部 5.封闭性：经过刚体运动仍然是有效的物体 三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集，及由内部 的点集合包围这些点的表皮组成的。