绝对值的三角不等式典型例题

1.4绝对值三角不等式

☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；

3.理解绝对值三角不等式；

4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ⋅=⋅ （4）

)0(≠=

b b

a

b

a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？

实际上，性质b a b a ⋅=⋅和

)0(≠=

b b

a

b

a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明

b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？

显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。 证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+

如

果

,

0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以

b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(

（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:

向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有｜a+b ｜<｜a ｜+｜b ｜

其几何意义是什么？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4、已知 2

,2c

b y

c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+

证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）

2

,2c b y c a x <-<

- ， ∴c c

c b y a x =+<-+-2

2 （2）

由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(

例5、已知.6,4a

y a x <<

求证：a y x <-32。 证明 6,4a y a x << ，∴2

3,22a

y a x <<，

由例1及上式，a a

a y x y x =+<+≤-2

23232。

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：

1、已知.2,2c

b B

c a A <-<

-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知.6

,4c

b y

c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。

作业：习题1.2 2、3、5

1.4绝对值三角不等式学案

☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;

3.理解绝对值三角不等式。 ☆预习内容：

1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧

⎪=⎨

⎪⎩

2. 绝对值的几何意义：

10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A

20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，

那么||a b -的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？

4.若实数,a b 分别换成向量,a b 定理1还成立吗？ 5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：

1、绝对值的定义的应用

例1 设函数()14f x x x =+--．

()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．

2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系. ①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.

②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.