2019年上海市春季高考数学试卷

1．（ 4 分 ）（ 2019• 上 海 ） 已 知 集 合 A＝ {1， 2， 3， 4， 5}， B＝ {3， 5， 6}， 则 A∩ B＝
{3，5} ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{3，5，6}，
∴A∩B＝{3，5}．
故答案为：{3，5}．
（y＞0），再交换 x 与 y 的位置即得反函数．
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【解答】解：由 y＝x2（x＞0）解得 x =
∴f﹣1（x） =
，
（x＞0）
故答案为 f﹣1 （x） =
（x＞0）
【点评】本题考查了反函数，属基础题．
5．（4 分）（2019•上海）设 i 为虚数单位，3 ‒ = 6 + 5，则|z|的值为 2 2
1 + 6.4420 ‒ 0.1136
年份．
20．（16 分）（2019•上海）已知抛物线方程 y2＝4x，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q
为线段 PF 与抛物线的交点，定义：d(P) =
||
．
||
8
（1）当P( ‒ 1， ‒ )时，求 d（P）；
3
（2）证明：存在常数 a，使得 2d（P）＝|PF|+a；
BC 于点 P，函数y =
‒
1
2
交 AB 于点 Q，当|AQ|+|CP|最小时，则 a 的值为
．
→
2 2
11．（5 分）（2019•上海）在椭圆 + = 1上任意一点 P，Q 与 P 关于 x 轴对称，若有F1
4
2
→
→
→
⋅ 2 ≤ 1，则F1与F2的夹角范围为
．
12．（5 分）（2019•上海）已知集合 A＝[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0∉A，存在正数 λ，使得对任
年份
卫生总费
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
用（亿
绝对数（亿
占卫生总费用
绝对数（亿
占卫
绝对数
占卫
元）
元）
比重（%）
元）
生总
（亿
生总
费用
元）
费用
比重
比重
（%）
（%）
2012
28119.00
9656.32
34.34
10030.70
35.67 8431.98 29.99
2013
31668.95
10729.34
3
11．（5 分）（2019•上海）在椭圆
2 2
【 分 析 】 设 P（ x， y）， 则 Q 点 （ x， ﹣ y）， 结 合 F1 ⋅ 2 ≤ 1， + = 1可 得 ：
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．
7．（5 分）（2019•上海）在(x +
1

)6的展开式中，常数项等于 15 ．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项．
【解答】解：(x +
1

6
) 展开式的通项为
4
∴解得：AB =
10．
故答案为： 10．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦
定理是关键．
9．（5 分）（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续
5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有
{2x4++2y = =- 1，当方程有无穷多解时，a 的值为 ﹣2 ．
6．（4 分）（2019•上海）已知
2
【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到 a 的值．
【解答】解：由题意，可知：
∵方程有无穷多解，
∴可对①×2，得：4x+4y＝﹣2．
再与②式比较，可得：a＝﹣2．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
2．（4 分）（2019•上海）计算 lim
22 ‒ 3 + 1
→∞
2 ‒ 4 + 1
= 2 ．
22 ‒ 3 + 1
的分子、分母同除以 n2，再求极限即可．
2
‒ 4 +Βιβλιοθήκη Baidu1
【分析】对
【解答】解： lim
2 ‒ 3 + 1
→∞
2 ‒ 4 + 1
3
1
2
4
1
2
2‒+
2
=
→∞
1‒+
= 2．
故答案为：2．
∞
【点评】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及 极限的求法．
∞
3．（4 分）（2019•上海）不等式|x+1|＜5 的解集为 （﹣6，4） ．
【分析】根据|f（x）|＜a（a＞0）⇔﹣a＜f（x）＜a 可解得．
→∞
19．（14 分）（2019•上海）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长
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了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年﹣
2015 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在
卫生总费用中的占比．
（1）若a1 = 0， =
2
，求集合 S；
3

（2）若a1 = ，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；
2
（3）若集合 S 恰好有三个元素：bn+T＝bn，T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的
值．
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2019 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
＝
．
1
， 则 AB
4
．
9．（5 分）（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续
5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有
种（结果用数值表示）
10．（5 分）（2019•上海）如图，已知正方形 OABC，其中 OA＝a（a＞1），函数 y＝3x2 交
2019 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（ 4 分 ）（ 2019• 上 海 ） 已 知 集 合 A＝ {1， 2， 3， 4， 5}， B＝ {3， 5， 6}， 则 A∩ B
＝
．
2．（4 分）（2019•上海）计算 lim
24 种（结果用数值表示）
【分析】根据分步计数原理即可求出．
【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 4A33＝24
种，
故答案为：24．
【点评】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．
10．（5 分）（2019•上海）如图，已知正方形 OABC，其中 OA＝a（a＞1），函数 y＝3x2 交
{2x4++2y = =- 1，当方程有无穷多解时，a 的值为
6．（4 分）（2019•上海）已知
7．（5 分）（2019•上海）在(x +
2
1

)6的展开式中，常数项等于
．
8．（ 5 分 ）（ 2019• 上 海 ） 在 △ ABC 中 ， AC＝ 3， 3sinA＝ 2sinB， 且 cosC =
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
15．（5 分）（2019•上海）已知平面 α、β、γ 两两垂直，直线 a、b、c 满足：a⊆α，b⊆β，
c⊆γ，则直线 a、b、c 不可能满足以下哪种关系（ ）
A．两两垂直
B．两两平行
C．两两相交
D．两两异面
16．（5 分）（2019•上海）以（a1，0），（a2，0）为圆心的两圆均过（1，0），与 y 轴正半轴
= AC =
3．
（1）若 PB 的中点为 M，BC 的中点为 N，求 AC 与 MN 的夹角；
（2）求 P﹣ABC 的体积．
18．（14 分）（2019•上海）已知数列{an}，a1＝3，前 n 项和为 Sn．
（1）若{an}为等差数列，且 a4＝15，求 Sn；
（2）若{an}为等比数列，且 lim ＜12，求公比 q 的取值范围．
．
【分析】利用正弦定理可得 BC＝2，利用余弦定理即可得出结论．
【解答】解：∵3sinA＝2sinB，
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1
，则 AB＝ 10
4
∴由正弦定理可得：3BC＝2AC，
∴由 AC＝3，可得：BC＝2，
∵cosC =
1
，
4
1 32 + 22 ‒ 2
∴由余弦定理可得： =
，
2×3×2
T + 1 = 6
3 ‒ 6
2
令
3 ‒ 9
= 0得 r＝2，
2
故展开式的常数项为第 3 项：C62＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．（5 分）（2019•上海）在△ABC 中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且cosC =
1 1
分别交于（0，y1），（0，y2），且满足 lny1+lny2＝0，则点( ， )的轨迹是（ ）
1 2
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）（2019•上海）如图，在正三棱锥 P﹣ABC 中，PA = PB = PC = 2，AB = BC
【解答】解：由|x+1|＜5 得﹣5＜x+1＜5，即﹣6＜x＜4
故答案为：（﹣6，4）．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
4．（ 4 分 ）（ 2019• 上 海 ） 函 数 f（ x） ＝ x2（ x＞ 0） 的 反 函 数 为 f﹣ 1（ x） =
（ x＞
0） ．
【分析】由 y＝x2（x＞0）解得 x =
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意 a∈A，都有 ∈ ，则 t 的值是

．
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）（2019•上海）下列函数中，值域为[0，+∞）的是（ ）
A．y＝2x
B．y =
1
2
C．y＝tanx
D．y＝cosx
14．（5 分）（2019•上海）已知 a、b∈R，则“a2＞b2”是“|a|＞|b|”的（ ）
【分析】把已知等式变形求得z再由|z|＝|z|，结合复数模的计算公式求解．
【解答】解：由3 ‒ = 6 + 5，得 3z = 6+6i，即z = 2 + 2，
∴|z|＝|z| =
22 + 22 = 2 2．
故答案为：2 2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
|AQ|+|CP| =
1

1
+
≥2
，
3
3

当且仅当 a =
3时，取最小值，
故答案为： 3．
【点评】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础
题．
→
2 2
+ = 1上任意一点 P，Q 与 P 关于 x 轴对称，若有F1
4
2
→
→
→
1
⋅ 2 ≤ 1，则F1与F2的夹角范围为 [π﹣arccos ，π] ．
33.88
11393.79
35.98 9545.81 30.14
2014
35312.40
11295.41
31.99
13437.75
38.05 10579.23 29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（3）P1，P2，P3 为抛物线准线上三点，且|P1P2|＝|P2P3|，判断 d（P1）+d（P3）与 2d
（P2）的关系．
21．（18 分）（2019•上海）已知等差数列{an}的公差 d∈（0，π]，数列{bn}满足 bn＝sin
（an），集合S = {| = ， ∈ ∗ }．
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（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比
的变化趋势：
（ 2） 设 t＝ 1 表 示 1978 年 ， 第 n 年 卫 生 总 费 用 与 年 份 t 之 间 拟 合 函 数 f（ t） =
357876.6053
研究函数 f（t）的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的
BC 于点 P，函数y =
‒
1
2
交 AB 于点 Q，当|AQ|+|CP|最小时，则 a 的值为 3 ．
【分析】由已知可得 P，Q 坐标，进而可得|AQ|+|CP| =

1
+ ，由基本不等式可得答
3

案．
【解答】解：由题意得：P 点坐标为（

1
，a），Q 点坐标为（a， ），
3

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22 ‒ 3 + 1
→∞
2 ‒ 4 + 1
=
3．（4 分）（2019•上海）不等式|x+1|＜5 的解集为
．
．
4．（4 分）（2019•上海）函数 f（x）＝x2（x＞0）的反函数为
．
5．（4 分）（2019•上海）设 i 为虚数单位，3 ‒ = 6 + 5，则|z|的值为