数学知识的学习过程

的学习、数学问题解决的学习
概念
1、属性和概念 属性：性质和关系统称属性。
概念
概念：一类事物的特有属性反映在人们的思维 中，就形成了关于这类事物的概念。
概念的内涵与外延
• 概念的内涵：是指反映在概念中的对象的本质属 性。
• 概念的外延：是指具有概念所反映的本质属性的 对象。
例：“质数”的外延是：2,3,5,7,11，……组成的集合； 内涵是以下两个本质属性的集合（1）是大于1的自 然数，（2）只能被1和它本身整除。
三、数学规则的学习过程 1、数学规则及其分类 （1）数学规则 数学规则是两个或两个以上数学概念之间固有关系 的叙述，通常以经过严格论证的数学命题的形式呈现 小学数学学习中，数学规则的学习主要是运算性质、 运算法则和公式的学习。
（2）数学规则的分类 按新规则与原有认知结构中已有知识之间的关系，可 以分为下位关系、上位关系和并列关系三种。 下位关系：如果新规则在层次上低于原有的认知结构 中的有关知识，那么，新规则与原有认知结构中已有 知识之间的关系就构成下位关系。 如：学习了长方形的有关规则后，再学习正方形的有 关规则，便是下位学习。
例2
②用描述的方法借助具体事例说明概念 一些概念的定义很抽象，小学生很难理解和掌
握，必须用描述的方法来表述。一般采用“像… 这样的…叫做…”的叙述方法。
③用逐步渗透的方法来揭示概念 逐步渗透就是在不同场合，不同阶段多次接触 概念反映的一些对象，并逐步揭示概念的本质 属性。 例如，整数、分数等概念的教学都是分阶段逐 步进行的。开始时，先让学生有一个初步认识 ，当学生的感性达到一定程度时，再逐步揭示 它们的内涵。
式，规定新出现的词（符号）或词组的意义。 例：为了使乘法定义“求几个相同加数的和的简 便运算叫做乘法”中的“几”等于1或0时也有 意义，我们规定“a×1=a，a×0=0”。
2.数学概念学习的基本形式 概念学习是对同类事物的本质属性和非本质属性 的不断辨别的过程。 一般有两种形式：概念形成和概念同化。 （1）概念形成 从大量具体例子中抽象出某一类对象或事物的共 同本质特征的过程。因此，数学概念的形成实质 上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。
2.数学规则学习的两种主要形式 例 学习“商不变的性质”
然后概括出“被除数和除数同时扩大（或缩小）相同 的倍数，商不变。
（1）例---规法：先呈现规则的若干例证，然后从例 证中概括出一般结论，从而获得规则的方法。 显然，例一规法的学习属于上位学习，是一种指导 发现学习。其认知过程与概念的形成相似。
（3）通过规则的系统化，完善形式的认知结构 必须通过规则的系统化，沟通规则之间的联系，通过 规则的系统化，完善学生的认知结构。
④用定义的形式来揭示概念的本质属性 小学数学中用到的定义方式有以下几种： （a）属加种差定义： 种差+邻近的属概念=被定义概念
（b）发生定义 发生定义指出了概念特定的发生或形成的过程。 例：射线的定义：“把线段的一端无限延长， 就得到一条射线。”
（c）约定式定义 约定式定义是根据某些需要，通过约定的方
数学概念内涵与外延的反变关系 • 具有从属关系的概念，内涵越少，外延越大；内
涵越多，外延越小。 • 得到新概念的方式： （1）概念的限定（增加概念的内涵，使外延较大的
概念演变为外延较小的概念的一种逻辑方法） （2）概念的概括（减小概念的内涵，使外延较小的
概念演变为外延较大的概念的一种逻辑方法）
数学概念的划分
（2）概念同化 用认知结构中原有的概念解释和理解新的概念, 掌握新概念的本质属性的过程。
两种方式都是有意义的学习，在数学概念的实 际学习过程中，两种方式往往结合使用。
3.概念学习应注意的问题 小学数学概念教学具有两个特点：直观性和阶段性。 （1）注意选择学习新概念的感性材料和经验 ①材料或经验的数量 从感性材料或经验中抽象概括数学概念，首先要求 材料或经验要有足够的数量。
数学知识的学习过程 一、数学概念的学习过程 二、数学规则的学习过程
小学生数学学习的类型
• 根据学习的方式分：发现学习、接受学习。 • 根据学习的深度分：有意义学习、机械学习。 • 根据学生在完成认知任务时的思维水平分：记
忆操作类的学习、理解性学习、探索性学习。 • 根据学习内容分：数学知识的学习、数学技能
• 矛盾关系：如果两个概念间的外延相互排斥,且 这两个概念外延之和等于它们最邻近的属概念的 外延,那么这两个概念的关系称为矛盾关系。
• 如：奇数和偶数。
• 反对关系：如果两个概念的外延互相排斥，且 这两个概念外延之和是它们最邻近的属概念的 外延的真子集，那么这两个概念之间的关系称 为反对关系。
• 如：在正整数集合中，质数和合数是反对关系。 在大于1的正整数集合中，质数和合数又是矛 盾关系。P105 例8、例9、例10
概念间的关系
• 外延完全重合的两个概念A和B之间的关 系称为同一关系。
• 如：正三角形和等边三角形；质数和素 数；矩形和长方形等。
属种关系（从属关系）
• 如果一个概念的外延包含另一个概念的外延但 不相同,那么这两个概念间的关系称为属种关系。 其中，外延较大的概念叫作属概念(或上位概 念), 外延较小的概念叫作种概念(或下位概念)。 如：四边形→平行四边形→长方形→正方形， 就有属种关系。
例：几种四边形间的关系。
③用集合图表示概念外延间的关系 例：几种四边形外延间的关系
（4）注意在概念教学在培养学生的思维能力 在概念进行中，要组织学生在观察的基础上进 行分析、综合、比较、抽象、概括，获得概念， 进而依据概念进行判断、推理，把培养学生思 维能力的工作贯穿于始终。 例“质数与合数概念”教学
概念
内涵
18与24的公因数 是18的因素，是24的因 素
两位数
是自然数，有两个位数
梯形
是四边形、一组对边平 行，另一组对边不平行
概念
外延
18与24的公因数 {1、2、3、6}
两位数
{10，11，12，……，99}
梯形
各种形状和大小的所有梯 形
3、概念的种类 根据外延，可以分为单独概念、普遍概
念和空概念。根据它是否从整体上反映一 个集合体分为集合概念和非集合概念。
二、数学概念及其表现形式 （1）数学概念：数学概念是客观事物的数量关系 和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。 数学概念的特点：由于数学概念所代表的是一类对 象，所以它在一定范围内具有普遍意义；数学概念 所代表的是一类对象的本质属性，所以它有抽象性 ，因而也具有应用的广泛性。
（2）数学概念的表现形式 ① 用图画的形式表现概念 例1：角的初步认识
例 平行四边形面积公式的学习
将长方形面积公式用于平行四边形，推导出它的面积公式， 然后举例说明公式的应用。
（2）规----例法：指先推导出要学习的规则，然后用 实例说明规则的方法。 规一例法的学习一般属于下位学习，其认知过程与概 念同化的过程相似。
3、数学规则学习应该注意的问题 （1）学习新规则要与已掌握的知识联系，把新规则 纳入原有的认知结构 例 分数加法法则的学习 （2）弄清新规则的形成过程 例 学习乘法法则
• 概念的划分(或分类)是从概念的外延方面 明确概念的逻辑方法。概念的划分就是把 被划分的概念作为属概念，并根据一定的 属性把它的外延分成若干个全异的种概念。
• 划分的三要素：母项、子项、划分的依据
• 阅读教材P108 例11
• 分类和二分法
• 根据事物的某一本质属性进行的划分叫作分类。 可以按照不同标准对同一概念进行分类。
• 如对于整数，可以分为奇数和偶数；也可以分为 负整数，0，正整数。
• 分类和二分法
• 按照对象有无某种属性作为标准，将属概念划分 为两个种概念的方法叫作二分法。
• 如：两条相交直线可以根据相交所成的角是不是 直角分为“垂直”和“斜交”两种情形。

划分的规则
• 划分应是相称的 • 每一次划分只能用一个根据 • 划分的子项必须互相排斥 • 划分不能越级
上位关系：如果新规则在层次上高于原有的认知结构 中的有关知识，那么，新规则与原有认知结构中已有 知识之间的关系就构成上位关系。 如：学习分数除法时，先学习分数除以整数的法则， 再学习一个数除以分数的法则，在此基础上概括出分 数除法法则，就是上位学习。
并列关系：如果新规则与原有认知结构中的有关知识 有一定联系，但既不处于下位，又不处于上位，那么 ，称它们为并列关系。 如：学习了整数除法中商不变的性质，再学习分数的 基本性质，以及比的基本性质，都属于并列学习。
（3）帮助学生形成概念系统 ①用分类的方法表示概念的外延间的关系。
例：三角形的分类
锐角三角形 三角形 直角三角形
钝角三角形
三角形
等腰三角形
腰和底不等的等腰三角形

等边三角形

不等边三角形
②用增加内涵的方法表示概念之间的属种关系 随着概念内涵的增加，外延将缩小。据此，
可以把概念整理成系统。
交叉关系
• 如果在两个概念中，每个概念的外延都只有一部分 元素属于另一个概念的外延，那么这两个概念的关 系称为交叉关系。
• 如：“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数” 与“整数”、“菱形”与“矩形”。
• 同一关系、属种关系、交叉关系统称为相容关系。
不相容关系
• 若两个概念的外延之交为空集，则这两个概念之 间的关系为全异关系（不相容关系）。
②材料的典型性 要选择那些能反映概念本质属性的典型材料
说明概念。 ③材料的表现形式
感性材料不仅要有标准材料，也要有变式 材料。所谓“变式”，即变换概念肯定例证中 的非本质属性的表现形式，变更观察对象的角 度或方法，从而突出一类对象的本质属性，更 准确、更深刻地掌握概念。
（2）注意概念教学的阶段性和连贯性 阶段性——防止“不到位” “越位” 连贯性——前为后准备，后为前的发展