最新全等三角形的判定复习与总结(教案)

A

D

B

全等三角形的判定

全等三角形复习

[知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质 一般三角形

直角三角形

判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质

对应边相等，对应角相等

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：

⎪

⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪

⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 二、例题讲解

例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接

AC 边即可构造全等三角形。

解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪

⎨⎧===AC AC CD CB AD

AB

∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。

证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD

C

A D

B E

C F

A E F B

D C

C

B

E

D

A

B D C

在△ABD 与△ACD 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧===AD AD CD BD AC AB

∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） ∠ADB+∠ADC=︒180（平角的定义）

∴∠ADB=∠ADC=︒90，∴AD ⊥BC （垂直的定义）

例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。

证明：在△ABE 与△ACD 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AE A

A AC AB

∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。 证明： AE=BF(已知)

∴AE+EF=BF+FE,即AF=BE

在△DAF 与△CBE 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=BE AF B A BC

AD

∴△DAF ≌△CBE(SAS),∴DF=CE （全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS 再证出另一边（即AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。

例5.（ ASA ）如图，已知点E,C 在线段BF 上，BE=CF,AB ∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE. 分析：要证AB=DE ，结合BE=CF ，即BC=EF ，∠ACB=∠F 逆推，即要找到证△ABC ≌△DEF 的条件。

证明: AB ∥DE,∴∠B=∠DEF. 又 BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

在△ABC 与△DEF 中,⎪⎩⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠F ACB EF BC DEF

B

∴△ABC ≌△DEF(ASA),∴AB=DE.

A

E

A

B D C

D

A

B C E

例6.（AAS ）如图，已知B,C,E 三点在同一条直线上，AC ∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求证：△ABC ≌△CDE.

分析：在△ABC 与△CDE 中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件， 由AC ∥DE ，可知∠B=∠D,于是△ABC ≌△CDE 的条件就有了。

证明： AC ∥DE ，∴∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D. 又 ∠ACD=∠B,∴∠B=∠D.

在△ABC 与△CDE 中,⎪⎩⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ,

∴△ABC ≌△CDE(AAS).

解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。 例7.（HL ）如图，在Rt △ABC 中，∠A=︒90,点D 为斜边BC 上一点，且BD=BA,过点D 作BC 得垂线，交AC 于点E ，求证：AE=ED.

分析：要证AE=ED ，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE 即可。 证明：连接BE.

ED ⊥BC 于D,∴∠EDB=︒90.

在Rt △ABE 与Rt △DBE 中，⎩⎨⎧==BE

BE BD BA

∴Rt △ABE ≌Rt △DBE(HL),∴AE=ED.

解题规律：连接BE 构造两个直角三角形是本题的解题关键。 特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

1．如图，已知AC ＝DB ，要使△ABC ≌△DCB ，利用SSS 只需增加的一个条件是__ __。

2．如图，已知△ABC 和△DBE ，B 为AD 的中点，BE ＝BC ，请增加的一个条件____________使△ABC ≌△DCB 。 3．如图，点F 、C 在线段BE 上，且AB=DF ，AC ＝DE ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件___________。

4.如图：将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度； 三、课堂同步练习

2

1

F E （第13题）

D

C

B

A