全等三角形证明判定方法分类总结

A
D
M
E
过 A 作 AF⊥BC于 F，过 D 作 DG⊥BC于 B
2、如图所示， 已知∠ 1=∠ 2，EF⊥ AD于 P， 交 BC延长线于 M，求证： 2∠ M=（∠ ACB∠ B）
B
A 12 E P
F
D
C
M
说明理由．
4、已知：如图， △ ABC 中， ABC 45°， CD AB 于 D ， BE 平分 ABC ，
且 BE AC 于 E ，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G ．
．将 △BOC
（ 2）当 150 时，试判断 △ AOD 的形状，并说明理
由；
（ 3）探究：当 为多少度时， △ AOD 是等腰三角形
A
D 110 O
B
C
7、过等腰直角三角形直角顶点 A 作直线 AM平行于斜边 BC，在 AM上取点 D，使 BD=BC，
且 DB与 AC所在直线交于 E，求证： CD=C。E
4．全等三角形的判定（一） ：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”
或“ SSS”．
【典型例题】 A
例 1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B与点 D是对应点， BAC 26 ，
且
B 20 ， S ABC 1 ， 求 CAD , D , ACD 的 度 数 及
B
C D
ACD 的面积．
例 2．如图， ABC ≌ DEF ， A 50 , BC 9cm,CE 5cm ，求 EDF 的
D 1 A E
F C 2 B
B 5. 如图，已知 AB⊥AC， AD⊥AE， AB=AC， AD=AE，
求证：（ 1）BE=DC，（2） BE⊥ DC. A
D
P Q C
E
6、已知，如图 A、F、C、D 四点在一直 AF=CD， AB证 :BD=CE
线上，
8、如图，正方形 ABCD的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上，连接 BE、 DG， （ 1）观察猜想 BE 与 DG之间的大小关系，并证明你的结论。 （ 2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，请说出旋转过程， 若不存在，说明理由。
【典型例题】
【例 1】下列条件不可推得 ABC 和 A ' B 'C ' 全等的条件是（
）
A、
AB=A' B' ， A
A' ，
C
'
C
B、
AB= A ' B' ， AC=A' C' ， BC=B ' C'
C、
AB= A ' B' ， AC=A' C' ， B
B'
D、
AB= A ' B' ， A
A' ， B
9、已知 : 如图 ,AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE．求证 :BE∥ CF．
10、已知 C 为 AB上一点 , △ ACN和 △ BCM是正三角形 . 求证：（ 1） AM=BN （ 2）求∠ AFN大小。
N FM
D
D 11、已知如图， F 在正方形 ABCD的边 BC边上， E 在 AB 的延长线上， FB＝ EB， AF 交 CE于 G，求∠ AGC的度数 .
全等三角形（四）
强化训练
1、如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 、 E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 、 CA 上
的点，
（ 1）若 AD BE CF ，问△ DEF 是等边三角形吗试证明你的结论；
（ 2）若△ DEF 是等边三角形，问 AD BE CF 成立吗试证明你的结论．
A F
D
B
EC
【知识要点】
全等三角形（一） SSS
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．
2．全等图形的性质：
（ 1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（ 2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（ 1 ）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”
B
E O
A
F
C
【例 4】 如图， B， C， D在同一条直线上，△ ABC，△ ADE是等边三角形，
求证：① CE=AC+D；C ②∠ ECD=60° .
E A
B C
D
【例 5】如图，已知△ ABC、△ BDE均为等边三角形。求证： BD＋ CD=AD。
A
E
B
C
D
【巩固练习】
1 ．在△ ABC和△ A B C 中，若 AB=A B ，AC=A C ，还要加一个角的条件，使
=DE ； BC=EF，两个三角形周长相等
3 ．阅读理解题：
如图：已知 AC， BD相交于 O，OA=OB，OC=OD.
那么△ AOD与△ BOC全等吗请说明理由 . △ ABC与△ BAD全等吗请说明理由 .
小明的解答：
OA=OB
1 OD=2OC
SAS △ AOD≌△ BOC
D
C
而△ BAD=△ AOD+△ ADB △ ABC=△ BOC+△AOB
如
ABC与 DEF 全等，记作 ABC ≌ DEF
（ 2）符号“≌”的含义： “∽”表示形状相同， “ =”表示大小相等，合起来就 是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（ 3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫 做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（ 4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
ABC
ABD ABC CDA 则 AD的长是（ ）
A 、 7cm B 、 5cm C 、 8cm D 、无法确定
5 ． 如 图 ， 已 知 ， AB=DE ， BC=EF ， AF=CD ， 求 证 ：
A A AA
E
B
D
AB DE
AB
B
ABC
D
A
F FED
E D
C
BAD
CE C
CAE
F
BE D
CDE
度数及 CF的长．
A
D
B
EC
F
例 3．如图，已知： AB=AD， AC=AE， BC=DE，求证： BAE CAD
A
例 4．如图 AB=DE， BC=EF， AD=CF，求证：
B
D
E C
（1） ABC ≌ DEF
（
AB ABC中 C 90 , DE AB
ABD和 CDB
A ABD
2
ABC C
A
A
ED
△ ABC≌△ A B C ，那么你加的条件是（
）
A ．∠ A=∠ A B. ∠ B=∠ B C. ∠ C=∠ C D. ∠ A=∠ B
2 ．下列各组条件中，能判断△ ABC≌△ DEF的是（
）
A ． AB=DE， BC=EF； CA=CD =CD ；∠ C=∠ F；AC=EF
C ． CA=CD；∠ B=∠ E
所以△ ABC≌△ BAD （1）你认为小明的解答有无错误；
1
2
O
（ 2）如有错误给出正确解答；
A
B
5．如图， AE是 BAC 的平分线 ，AB=AC
（1）若 D 是 AE上任意一点，则△ ABD≌△ ACD，说明理由 . （2）若 D 是 AE反向延长线上一点，结论还成立吗请说明理由 .
B
1 A
2
B第 8 题C图
E
CD B
D
DACE
DF
ABEF ACD
E AEB
BAE
F
C与 第F 互4 补题图
D BAD
第AB5C题图
DEF A
C
C
C
A与 E互余
B与 D 互余
B90
第
AC C与D
6 题图F
FD互余
E
第 9A题C题F图 DBE
B
A
E 第307,题A图CF 110 , AD 9cm, CD 2.5cm D ABC 与 ABD
）
ABBD
A
CDB
DABDDC和C
D
CDB
B
CBD B E
C
ABC C
F
BAD
A
B
第 3 题图
C 60C,D ABD C 35
BAD 85 35 60 80 ABC DEF ACD BCE
A
E
A
B
ABE
DCF
A
AE BC
ABC
AED
A
A
B 40 ,
E
ECAB
BB
30 ,
B
DC
A
4D5 , 则 BAEC
1 （1）求证： BF AC ；（ 2）求证： CE BF ；
2
A
D FE
G
B
H
C
C 3、△ ABC中，∠ A=90°， AB=AC，D为 BC中点， E、F 分别
在 AC、AB上，且 DE⊥ DF，试判断 DE、DF的数量关系，并 E
D
A
F
B
5、 如图， 点 O 是等边 △ ABC 内一点， AOB 110 ， BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 △ ADC ，连接 OD ． （1）求证： △COD 是等边三角形；
(1) 中猜想的
结论是否仍然成立若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由
.
A
百度文库
D
E
C
B
F
全等三角形（三） ASA
【知识要点】
ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
如图，在 ABC 与 DEF 中
B
AD AB DE
BE
A C
D
ABC DEF (ASA)
E
F
ASA公理推论（ AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
A
2 1
4
E
O
3
B
DC
【例 6】如图， A D , 1 2 ， AC， BD相交于 O，
求证：① AB=CD
② OA=OD
A
D
O
1 B
2 C
【巩固练习】
1
．E A C 如E
图 A，
E
A
G
D
A A'B
A A AA
BDB C
A
D
F1
A
2C
D
A
1
3 D
DF OE
N
D B
B
B E BA
B C
DC
DF C B
A
C FG BE
12、 如图，△ ABC是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF是正方形，连接
AF、 BD.
(1) 观察图形，猜想 AF 与 BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2) 若将正方形 CDEF绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF的一边落在△ ABC
的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题
F
B
C
2．如图，△ ABC，△ BDF为等腰直角三角形。求证： （1） CF=AD；（ 2） CE⊥ AD。
A
FE
C
BD
3．如图， AB=AC， AD=AE， BE和 CD相交于点 O， AO的延长线交 BC于点 F。 求证： BF=FC。
A
D
E
O
B
F
C
4．已知：如图 1， AD∥ BC， AE=CF， AD=BC， E、 F 在直线 AC上，求证： DE∥ BF。
B'
【例 2】已知如图，
AD
A D , AB DE , AB // DE ，求证： BC=EF
B ECF
【例 3】如图， AB=AC， B C ，求证： AD=AE
A
D
E
B
C
【例 4】已知如图， 1 2, 3 4 ，点 P 在 AB上，可以得出 PC=PD吗试证
明之．
B
12
D
C
P
34
A
【例 5】如图， 1 2 3 ， AC=AE，求证： DE=BC
1 B
BE' 2B C
4C FMDO'2 CD
EC
C D' A F
CD C
（图１）
AB ' ' ' ' '
EOD
FOB
D
AOE
COF
C
E
BC
B
E, 1
2
A D , 1 2, AF CD
AED ADE , BAE CAD
B D , BAD CAE ABC BAC , AD BC ACD ABD
ACB DBC , DCA ABD , AC 10cm △ ABC
E D
C 6．如图，已知 AB=AC， EB=EC，请说明 BD=CD的理由
A
E
B
D
C
4．如图，点 C是 AB 中点， CD∥ BE，且 CD=BE，试探究 AD与 CE的关系。 A
C
D
全等三角形（二）作业
1．如图，已知 AB=AC， AD=AE， BF=CF，求证： BDF ≌ CEF 。
A
D
E
．
4．如图， ABE ≌ ACD ， A 100 , B 25 ，求 BDC 的度数．
A
D
E
【例 2】 如图，已知：点 D、E 在 BC上，且 BD=CE， A
AD=AE，∠ 1=∠ 2，由此你能得出哪些结论给出证明 .
B
12
D
E
C
【例 3】 如图已知： AE=AF，AB=AC，∠ A=60°，∠ B=24°，求∠ BOE的度数 .
DEF (SAS)
B
BC
ABC DEF
F
BE BC EF
ABC
2．如图， ABC ≌ DCE ， A 48 , E 62 ，点 B、 C、 E 在同一直线上，
则 ACD 的度数为（
）
A 、 48 B 、 38 C 、 110
D 、 62
3．如图， ABC ≌ DEF ，AF=2cm,CF=5cm，则 AD=
证：△ EDN≌△ CDN≌△ EMN．
9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△ OBD≌△ OCE
10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为 BD 中点 , 过 O 作直线分别与 DA、 BC 的延长线交于 E、 F．求证： OE=OF
11、如图在△ ABC和△ DBC中 , ∠ 1=∠ 2 , ∠ 3=∠ 4 , P 是 BC上任意一点．求证： PA=PD.
12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥ BC , F 是 AB 的中点 , DF 交 CB延长 线 于 E , CE=CD ． 求证：∠ ADE=∠ EDC．
13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线 FA 与 BE 交于 C , AB 和 EF 交于 O , 求证：∠ 1=∠ 2．