09第二版 第九章矩阵特征值与特征向量数解法

设 n 阶非零矩阵 A 的 n个特征值，按模的大小排列如下
| 1 || 2 | | n |
对应 n 个线性无关的特征向量为
p1, p2 , , pn
由于n 维向量 p1, p2 , , pn 构成 n 维空间的一组基，因 此对任意非零 n 维向量 x(0，) 都存在一组不全为零的
数 a1, a2 , , an ，使得
又对于 i 1, 2,
n
，当
y ( k 1) i
0, xi(k)
0 时，有
n
x(k) i
1 y(k 1)
i
y(k 1) i
x(k) i
反幂法也可以计算 A 的按模不为最大也不为最小的特征值 及其对应的特征向量.
设 是 n 阶矩阵A 的某个特征值 i0的近似值，且与 A 的其 余特征值 i (i i0 ) 相比， 最靠近 i0 ，即
1
可知，对于i 1, 2, n x ，当 (k1) 0, x(k) 0 时，有
i
i
x(k )
i
1
x ( k 1)
i
但应注意，对于不同的初始向量 x(，0) 得到的对应于 的特 1
征向量，一般是不同的．
（3）若
1
2
且
| || |
1
3
| | 0 时，则由(9.2)可得 n
x(k)
k 1
||
,k
1, 2,
x Ay (k )
( k 1)
可得如下计算数据
k
x(k) 1
x(k) 2
x(k) 3
y(k) 1
y(k) 2
y(k) 3
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 2.0000 3.0000 9.0000 0.2222 0.3333 1.0000
1
Fra Baidu bibliotek
( k 1) 1
可近似看作矩阵
相对于特
征值 , 的特征向量． 12
9.1.2 反幂法
反幂法用来计算矩阵的绝对值最小(或称按模最小)的特征值 及其特征向量．
设A为 n阶非奇异矩阵．由(9.1)式可得
A1x 1 x
即若为矩阵
A的特征值，则
1
为矩阵
A1的特征值，且特征
向量相同．
若n 阶非奇异方阵A 的特征值为1, 2, , ，n 且满足
x(6) 3
16.1168，p
y(5)
(0.2833, 0.6417, 1.0000)T
1
y(5)
1
3
（2）当
1
2
r
且|
1
|| r 1
|
|
n
|
0
时，(9.2)可
写为
x(k ) 1k a1 p1 a2 p2
ar
pr
r 1 1
k
ar 1
pr 1
n 1
k
an
pn
0 | i0 || i |, 1 i n且i i0
由于矩阵 A E 的特征值是 i , (1 i n)，其对应的
特征向量仍然是 A 的特征向量．故对矩阵 A E 实行反幂
法，可求 的最靠近
A
E 的按模最小的特征值
的特征值等于
i0
．于是矩阵A
i0 (i0 )
1 1 2
1
ap nn
a p
11
k
其中 k是当 k趋于无穷时的无穷小(向)量，从而有
x(k) k (a p )
1 11
k
(9.3)
x(k) Ax(k1) x(k1)
可知：对于i 1, 2, n ，当 x(k1) 0, x(k ) 0 时，有
i
i
x(k )
i
1
x ( k 1)
i
(9.4)式的收敛速度，虽然与初始向量
§9.1 幂法与反幂法
9.1.1 幂法 在很多理论和应用问题中，通常只需要我们
求出矩阵的绝对值最大(或称按模最大)的特征值和 相应的特征向量，这时我们可以应用所谓的幂法 来求解．幂法是通过构造迭代格式求矩阵的特征 值，然后求出对应的特征向量的一种方法．
例 9.1 设有二阶矩阵
A
1 3
2
4
对于初始向量 x(0) (1,1)T ，试用迭代公式 x(k ) Ax(k1)
1.0000 0.2500 0.2857 0.2832 0.2834 0.2833
y(k)
1.0000
0.6250
0.6429
0.6416
0.6417
0.6417
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
从而得矩阵A的按模最大的特征值和特征向量为
i
i
又根据
( k 1)
x 2
i
1
x ( k 1)
i
可得
x(k1) k [a p (1)k a p ]
1
1 11
22
x(k ) x(k1) 2 k a p
1
1 11
x(k) x(k1) (1)k 2 k a p
1
1 22
A x x 即 (k)
， x x (k 1) (k )
其中 ||
x(k 1)
||
max{|
1in
x(k 1) i
|}(k
1, 2,
) ．于是，当
充
分大时，所求的特征向量为
p1 y(k1)，或 p1 x(k )
又对于 i 1, 2,
n
，当
y(k 1) i
0, xi(k )
0
时，有
1
x(k ) i
y(k 1) i
在求矩阵特征值及相应特征向量的过程中，用到了迭代公
1 2 n1 n 0
相应的特征向量为 p1, p2, , p．n 则 A1 的特征值为
且满足
1,1, ,1
1 2 n
1 1 1 1 0
n n1
2 1
相应的特征向量为 pn , pn1, ,．p1
因此，计算A的按模最小的特征值 n 的问题，就转化为
计算 A1 的按模最大的特征值 1 的问题．根据幂法的计算
5.3723 5.3723
因矩阵 A 的特征值的准确值为
1
5 2
33
5.3723,
2
5 2
33
0.3723
故可看出
1
x(6) 1
x(5) 1
x(6) 2
x(5) 2
5.3723
正是矩阵A 的按模最大的特征值．
相应的
14113
p1
30853
为A 且与1相对应的特征向量．
这一现象并非偶然，下面对一般情况进行分析．
令 则有
x(0) a p a p a p
11
22
nn
x(k ) Ax(k1) , k 1, 2,
x(k ) Ax(k 1) A x2 (k 2) A xk (0)
其中
ka p ka p ka p
1 11
222
nnn
x (x , x , (k1)
( k 1) ( k 1)
, x(k1) )T (k 1, 2,
( k 1)
可得如下计算数据
k
0
1
2
3
4
5
6
1.0000 6.0000 4.5000 4.5714 4.5664 4.5667 4.5667
x(k)
1.0000
15.0000
10.1250
10.3571
10.3407
10.3418
10.3418
1.0000 24.0000 15.7500 16.1429 16.1150 16.1170 16.1168
a1
p 1
(1)k
a 2
p 2
3
1
k
a 2
p 2
k
n
1
a n
p n
k [a p (1)k a p ]
1 11
22
k
其中 k 是当 k趋于无穷时的无穷小(向)量，即
x(k) k [a p (1)k a p ]
1 11
22
关于a1
,
a 2
是否为零的讨论与前面类似，这里不再重复．故
例 9.3
求矩阵
A
2 6
0 3
5 6
的所有特征值及相应的特
征向量(取初始向量 x(0) (1, 1, 1)T ，迭代10次，结果保留
四位小数)． 解 （1）求按模最大的特征值和特征向量．
已知初始向量 x(0) (1, 1, 1)T，根据公式
y (k 1)
x ( k 1)
||
x ( k 1)
(k 1, 2, ，) 计算特征值和特征向量．
解 已知 x(0) (1,1)T ，根据迭代公式
x(k) Ax(k1) , k 1, 2,
其中
x(k 1)
(x(k1) , x(k1) )T (k
1
2
1, 2,
，) 得到如下计算
结果
k
0
1
2
3
4
5
6
x(k)
x(k) 1
x(k) 2
1 1
因为
i
1（i r 1,
, n），所以当 k充分大时
1
a1 p1 a2 p2
k
ar
pr
r 1 1
ar1 pr1
k
n 1
an pn
a1 p1 a2 p2 ar pr k
其中 k 是当k趋于无穷时的无穷小(向)量，即
x(k) k (a p a p a p )
1 11
22
rr
k
(9.5)
在(9.5)式中：
①若
a 1
,
a 2
,
,a r
不全为零，则当 k充分大时，x(k) 近似等
于
k 1
(a 1
p 1
a 2
p 2
a r
p r
)，即
x(k
)
近似等于
p 1
,
p 2
,
,
p r
的线
性组合．
②若a1
,
a 2
,
,
a r
全为零，则由于计算过程中的舍入误差，
必将引入
p,p , 12
3 17
7
37
91 489 2627 14113
199
1069
5743
30853
x x (k) (k1) 11
x x (k) (k1) 22
3.0000 7.0000
5.6667 5.2857
5.3529 5.3784
5.3736 5.3719
5.3722 5.3723
式 x(k) Ak x(0) ，故称这种方法为幂法．
例9.2 用幂法求矩阵
1 2 3
A
4 7
5 8
6 9
的按模最大的特征值和相应的特征向量.．
解 取初始向量 x(0) (1, 1, 1)T ，根据公式
y (k 1)
x ( k 1)
||
x ( k 1)
||
,k
1, 2,
x Ay (k )
6 1.4239 4.4416 5.1093 0.2787 0.8693 1.0000
x(k1) k1[a p (1)k1 a p ] k1[a p (1)k a p ]
1
11
22
1
11
22
x(k1) k1[a p (1)k1 a p ] k1[a p (1)k a p ]
1
11
22
1
11
22
于是，对于 i 1, 2, n ，当 x(k1) 0, x(k1) 0 时，有
(9.4) 的选择有关，
但更主要的是依赖于比值
．
越小，(9.4)式
的收敛速度越快．当
接近于1时，(9.4)式的收敛速
度会变得很慢．
为了避免计算过程中，向量分量的绝对值变得太大或太
小，通常在每一步迭代中，都将向量进行“标准化”，即，
令
y
(
k
1)
||
x (k 1) x(k 1) ||
x
(k
)
Ay(k 1)
).
1
2
n
(9.2)
下面分三种情况进行讨论：
（1）当| || | | | 0 时，(9.2)式可写为
1
2
n
x(k)
k 1
a 1
p 1
2
1
k
a 2
p 2
k
n
1
a n
p n
因为 i 1 (i 2, , n) ，所以当 充分大时，有
1
k
a 1
p 1
2
1
ap 22
k
n
2 1.8889 4.5556 6.3333 0.2982 0.7193 1.0000
3 1.5789 4.4035 5.6316 0.2804 0.7819 1.0000
4 1.4984 4.4393 5.3364 0.2808 0.8319 1.0000
5 1.4489 4.4384 5.1891 0.2792 0.8553 1.0000
n
过程，可以推导出反幂法的计算公式．
设 x(0)为任意非零的 n 维向量，令
y
(
k
1)
||
x(k 1) x(k 1) ||
x
(k
)
A1 y(k 1)
其中
||
x ( k 1)
||
max{|
1in
x( k 1) i
|}(k
1, 2,
) ．根据幂法可知
：当 k 充分大时，有
pn y(k1)，或 pn x(k)
第九章矩阵特征值与特征向量数 值解法
• 9.1 幂法与反幂法 • 9.2 QR方法
在很多科学技术问题中，经常需要计算矩阵的特征值和特 征向量．
设 A是 n阶方阵，如果数 和 n维非零列向量 x 满足
Ax x
(9.1)
则称 为矩阵A 的特征值，x 为 A矩阵且与 相对应的特征向
量．
在线性代数中，我们利用特征方程| A I | 0 ，求方 阵 A 的特征值 ，然后代入到式(9.1)中，求其对应的特征向
,
p r
方向的微小分量．随着迭代过程的进
行，这些方向程的分量又会逐渐成为主导，即当k充分大时
，x ( k
) 也会近似等于
p, 1
p 2
,
,
p r
的线性组合．
综上所述：当 k充分大时，x(k) 可以近似看作矩阵A的
对应特征值 的特征向量．又根据 1
x Ax x (k)
( k 1)
( k 1)
量．然而，当 n 4 时，用求根公式来求解特征方程
| A I | 0
的根，十分困难。因此有必要研究求解矩阵特征值及特征向 量的数值方法．
本章将介绍两类计算矩阵特征值及特征向量的数值方 法：一类是幂法及反幂法；另一类是正交相似变换法，即
QR方法．本章只涉及实矩阵的特征值及特征向量的数值计
算方法．