09第二版 第九章矩阵特征值与特征向量数解法
(完整word版)第9章 矩阵特征值的数值解法
第9章 矩阵特征值的数值解法9.1 引言矩阵特征值问题有广泛的应用背景. 例如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析上、工程设计中的某些临界值的确定等，都归结为矩阵特征值问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，都要用到特征值的理论. 本章介绍n 阶实矩阵n n ⨯∈R A 的特征值与特征向量的数值解法.定义9.1.1 已知n 阶实矩阵()n n ij a ⨯=∈R A ，如果存在常数λ和非零向量x ，使λ=Ax x 或 ()λ-=0A I x (9.1.1)那么称λ为A 的特征值(eigenvalue)，x 为A 的相应于λ的特征向量(eigenvector). 多项式111212122212()det()n n n n n nn a a a a a a p a a a λλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A I (9.1.2)称为特征多项式(characteristic polynomial)，det()0λ-=A I (9.1.3)称为特征方程(characteristic equation).注 式(9.1.3)是以λ为未知量的一元n 次代数方程，()det()n p λλ=-A I 是λ的n 次多项式. 显然，A 的特征值就是特征方程(9.1.3)的根. 特征方程(9.1.3)在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值. 除特殊情况 (如2,3n =或A 为上(下)三角矩阵)外，一般不通过直接求解特征方程(9.1.3)来求A 的特征值, 原因是这样的算法往往不稳定. 在计算上常用的方法是幂法与反幂法和相似变换方法. 本章只介绍求矩阵特征值与特征向量的这两种基本方法. 为此将一些特征值和特征向量的性质列在此处.定理9.1.2 设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 的特征值为12,,,n λλλ，那么(1) 121122n nn a a a λλλ+++=+++;(2) 12det n λλλ=A .定理9.1.3 如果λ是方阵A 的特征值，那么(1) kλ是kA 的特征值，其中k 是正整数;(2) 当A 是非奇异阵时，1λ是1-A 的特征值. (3) ()n p λ是()n p A 的特征值，其中()n p x 是多项式2012()n n n p x a a x a x a x =++++.定义9.1.4 设,A B 都是n 阶方阵. 若有n 阶非奇异阵P ，使得1-=P AP B ，则称矩阵A 与B 相似(similar)，1-P AP 称为对A 进行相似变换(similarity transformation)，P 称为相似变换矩阵(similarity transformation matrix).定理9.1.5 若矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征值相同. 定理9.1.6 如果A 是n 阶正交矩阵，那么 (1) 1T -=A A ，且det 1=A 或1-; (2) 若=y Ax ，则22=yx , 即T T ⋅=⋅x x y y .定理9.1.7 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则 (1) A 的特征值都是实数； (2) A 有n 个线性无关的特征向量.定理9.1.8 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P ，使得1T -==P AP P AP Λ，其中12diag(,,,)n λλλ=Λ是以A 的n 个特征值12,,,n λλλ为对角元素的对角矩阵.定理9.1.9 (圆盘定理) 矩阵()ij n n a ⨯=A 的任意一个特征值至少位于复平面上的几个圆盘1,2,,n ，中的一个圆盘上。
第九章矩阵特征值和特征向量的计算
从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变， 则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数， 用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质： （1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法 实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。
本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。
2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。
2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。
举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。
2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。
它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。
其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。
最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。
它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。
首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。
重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。
最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
工程数学精品课件：矩阵特征值、特征向量的求法
x k1 p1 (k1 0) .
12
当 2 3 2 时 , 解方程组 (2E A)x 0 .
3 3 3 1 1 0
2E
A
3
3
3
0
0
0
6 6 6 0 0 0
得基础解系 p2 (1,1, 0)T , p3 (1, 0 , 1)T ,
A 1 B 2
C
3
D 1，2，3
提交
例2
设矩阵
A
1
1
1
1
的
特
征
值
为
0，
2， 则 3 A 的 特 征 值 为 （
）.
A 0，2 B 0，6 C 0，0 D 2，6
提交
9
10
1 3 3
例4：求矩阵
A
3
5
3 的特征值和特征向量 .
6 6 4
1 3 3 解：由 E A 3 5 3
A与AT 具有相同的特征值 1(二重).
但A的所有特征向量为c
1 0
,
c
0,
而A
T的所有特征向量为c
0 1
，c
0.
15
16
事实上，如果f ( A) 0,则A的特征值 满足f () 0,
换句话说，A的特征值只能是多项式f ( x) 的根。
17
谢谢同学们
6 6 4 (2 )2( 4) 0 A的特征值为 1 4 , 2 3 2 .
11
当 1 4 时 , 解方程组 (4E A) X 0 .
3 3 9
1
0
1 2
由
4E
A
3
6
9 6
矩阵的特征值与特征向量
特征值的计算方法
定义：矩阵的特征值是满足Ax=λx 的标量λ和向量x。
性质：特征值和特征向量具有相似 变换的特性。
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计算方法：通过求解特征多项式得 到特征值。
应用：在矩阵理论、线性代数等领 域有广泛应用。
特征向量的求解方法
定义法：根据特 征向量的定义， 通过解方程组求 得特征向量。
相似变换法：通 过相似变换将矩 阵化为对角矩阵， 然后求解对应于 特征值的线性方 程组得到特征向 量。
特征多项式法： 通过求解特征多 项式得到特征值 和特征向量。
幂法：通过迭代 计算矩阵的幂， 得到特征向量。
特征向量的线性组合
矩阵的特征值与特征向 量
汇报人：XX
目录
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矩阵的特征值
01
02
矩阵的特征向量
03
特征值与特征向量的 应用
04
添加章节标题
矩阵的特征值
特征值的定义
特征值是矩阵中 满足 Ax=λx 的 值，其中 A 是 矩阵，x 是向量，
λ 是特征值。
特征值可以通过 求解矩阵的特征 多项式得到，特 征多项式是一元 多项式方程的根。
在图像处理中的应用：通过特征值和特征向量的计算，可以对图像进行变换和分类， 实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
单击此处添加标题
在数据降维中的应用：特征值和特征向量可以用于数据降维，将高维数据投影到低 维空间中，从而简化数据的复杂度并提取主要特征。
单击此处添加标题
在自然语言处理中的应用：通过特征值和特征向量的计算，可以对文本进行分类、 聚类和情感分析等操作，从而实现对文本的处理和理解。
矩阵的特征值与特征向量
1, 2, …, n), 则 P 可逆, 且 P-1AP=
1,
注: 对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵， P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征 值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化 ，即可求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值 一定对应有 k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其 化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
矩阵的特征值与特征向量
一. 特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
注: 用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此， 首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或 因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向 量 即求齐次方程组(A- E)X=0 的基础解系.
2.利用公式求特征值与特征向量
二.A 与对角阵相似的解题方法
注: 当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充 要条件为 r(A- iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中 ri特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数.
注: 矩阵相似对角化的步骤: (1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…
三. 方阵 及其特征值、特征向量的互求
四.An 的求法
五.证明题
n,若
1, 2,…,
n 互异, 则 A 与对角阵相似；若
1, 2,…,
异的为
1, 2,…,
m, 每个
i 的重数为 ri, 当 r(A-
i E)=n-
(i=1,2,…m), A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似
关于高中数学矩阵特征值与特征向量的求解
2013-12百花园地四、语文教师要巧设悬念吊人的胃口，那就是悬念，我们若能在课堂教学中找到这样一扇“门”，就能激发起学生的好奇心、探索欲，主动积极地投入到学习的思维活动中，这样的课堂所激发的教学效果一定非常精彩。
因此，设置适当的悬念，既可引起学生重视，又可消除由于被动思维带来的疲惫感，使学生自主学习，主动融于动态的课堂。
总之，作为语文教师，只有改变观念，以科学的态度和求真的精神来设计每一个过程、环节，采用形式多样的教学方法，才能不断地激发学生的创新精神，而和谐积极的语文课堂气氛更可以让学生高效愉悦地学习。
大胆地对语文教学方法和艺术进行追求和创新，使我们语文教学的这片海洋更加波澜壮阔，惊险雄奇，用我们的魅力吸引学生畅游于知识的海洋吧！（作者单位辽宁省盘锦市实验中学）•编辑孙玲娟在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性，其定义如下：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数λ，存在一个非零向量ξ∈V使得Aξ=λξ那么λ称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ的一个特征向量。
在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A是数域P上的一个n阶方阵，若存在一个数λ∈P以及一个非零n维列向量使得Ax=λx则称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A关于特征值λ的特征向量。
从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。
一、对于具体的数字矩阵A=（a ij）n伊n，求A的特征值与特征向量的步骤第一步由A-λE=0求得A的n个特征值，设λ1，λ2，…λt是A的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，r t，且r1+r2+…+r t=n.第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E）x=0（i=（1，2，…，t）其基础解系就是A对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为P i1，P i2，…P it（1≤s i≤r i）则A对应特征值λ1的全部特征向量为k i1P t1+k i2P t2+…+k isi P tsi（k i1，k i2，…，k isi不全为0）注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。
矩阵特征值和特征向量的数值解
风险管理
在风险管理模型中，可以使用风 险矩阵的特征值和特征向量来分 析风险的分布和相关性，从而制 定有效的风险管理策略。
感谢您的观看
THANKS
稳定性分析通常通过比较不同数值解法的计算结果，观察其误差随舍入精 度的变化情况来进行。
稳定性好的算法能够在不同舍入精度下保持一致的计算结果，而稳定性差 的算法则可能导致计算结果的较大偏差。
数值解法的收敛性分析
01
收敛性分析是评估数值解法求解特征值和特征向量问题的有效 性的关键步骤。
02
收敛性分析主要关注算法是否能够收敛到正确的解，以及收敛
通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以找到线性变换下的不变量，从而更好地理解和分析线性变换的 性质和行为。
特征值和特征向量在矩阵的奇异值分解和QR分解等矩阵分解方法中也有着重要的应用，这些分解方法在 许多科学计算和工程领域中都有广泛的应用。
在微分方程中的应用
01
矩阵特征值和特征向量在解决微分方程问题中也有着重要 的应用。
速度的快慢。
收敛速度的快慢通常用收敛阶数来衡量，收敛阶数越高，收敛
03
速度越快。
数值解法的误差估计
01
误差估计是对数值解法计算结果的精度进行量化的 重要手段。
02
误差估计通常通过比较数值解法的计算结果与精确 解之间的差异来进行。
03
误差估计可以帮助我们了解算法的精度，从而在实 际应用中选择合适的算法和舍入精度。
在研究热传导问题时，热传导矩阵的特征值和特 征向量可以用来确定温度场的分布和变化。
在工程问题中的应用实例
结构分析
在结构分析中，结构的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量可 以用来确定结构的固有频率和振型，从而评估结构的稳定性和安全 性。
第九章矩阵特征值与特征向量计算方法
第九章矩阵特征值与特征向量计算方法教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。
教学重点及难点重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
教学时数12学时教学过程§2 幂法及反幂法2．1幂法在一些工程、物理力学部标题中，需要我们求矩阵的按模最大的特征值（称为A的主特征值）和对应的特征向量。
幂法是一种计算矩阵的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值。
设，其特征值为，对应特征向量为即且线性无关。
设特征值满足：（即为强占优）（2.1）幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量，由矩阵的乘幂构造一向量序列(2.2称为迭代向量。
下面来分折。
由设为中一个基本，于是，有展开式（且设）且有(2.3由假设（2.1）式,则即且收敛速度由比值确定。
且有（2．4）这说明，当充分大时，有，或越来越接近特征向量。
下面考虑主特征值的计算。
用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值。
从而是(2.5说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征,且收敛速度由比值来度量,越小收敛越快,但越小收敛越快,但,而接近于1时,收敛可能很慢。
定理7 （1）设n个线性无关的特征向量：（2）设特征值满足（3）幂法：）则（1）；（2）如果主特征值为实的重根，即有又设A有个线性无关的特征向量，其中对于任意初始向量则由幂法有且有（设不全为零）由此，当充分大时，接近于与对应的特征向量的某个线性组合。
应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果），迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究（或趋于零），这样电算时就可能溢出。
为此，就南非要将迭代向量加以规范化。
设有非零向量其中表示向量绝对值最大的元素，即如果有草药则其中为所有绝对值最大的分量中最小指标。
显然有下面性性质：设，则在定理7条件下幂法可改进为：任取初始向量。
矩阵特征值与特征向量的计算
第九章矩阵特征值与特征向量的计算教学目的与要求:掌握用幂法和反幂法求矩阵特征值与特征向量的方法,了解 Jacobi 方法的适用范围和使用方法。
重点和难点:幂法和反幂法■ 教学内容:§1 幂法和反幂法一、幂法幂法的基本思想是给定初始向量(00≠x , 由迭代公式产生向量序列(1( (0,1, 2, +==L k k x Ax k {}(k x :上述向量称为迭代向量。
(1(0(22(0( (0 ⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩LLLLk k x Ax x A x x A x 于是由上式得(1 ( 1(01111( λ++++k i u ======∑∑nnk k k k i i i i i i x Ax A x A a u a 11121112211[]λλλλλ+++⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠L k k k n n n a u a u a u设 ,由10a ≠1(2,3, , i i n λλ>=L 得 1 1lim 0λλ+→∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠k i i i k a u ,于是 121lim 0λλ+→∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑k ni i i k i a u故只要 k 充分大,就有 (1111111121[]λλλ+++=⎛⎞=+≈⎜⎟⎝⎠∑nk k k i i i i 1λx a u a u a u 因此, 可以近似作为与(1 +k x 1λ相应的特征向量。
下面我们通过特征向量来计算特征值1λ。
用 ( k i x 表示的第 i 个分量,由于( k x (1 1111(111( ( λλ++≈k k i i k k i i x a x a u u ,所以 (11( (1,2, , λ+≈=L k i k ix i n x 上式这种由已知非零向量及矩阵 (0x A 的乘幂构造向量序列 kA {}( k x 用来计算矩阵 A 按模最大的特征值1λ与对应的特征向量的方法称为幂法。
例 1 用幂法的规范运算求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。
矩阵特征值与特征向量的求解
矩阵特征值与特征向量的求解矩阵是线性代数中最为基础的概念之一，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵在理论和实际应用中的非常重要的概念。
在本文中，将着重介绍矩阵特征值与特征向量的求解方法，以及在实际问题中的应用。
一、矩阵特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量是矩阵代数理论中的重要概念，它们的定义如下：定义1：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ，和一个n维非零向量p，使得下面的等式成立：Ap=λp其中，λ称为A的特征值，p称为A的特征向量。
定义2：矩阵的特征向量可以是实数向量，也可以是复数向量，而特征值则只能是实数或复数。
定义3：矩阵的特征值λ满足方程式|A-λI|=0，其中I是n阶单位矩阵。
二、求解矩阵特征值与特征向量的方法1、特征值的求解特征值的求解是通过求解|A-λI|=0来完成的。
由于矩阵的行列式是一个多项式函数，所以可以将其转化为特征多项式，例如对于一个3阶方阵，其特征多项式为：f(λ)=|A-λI|=λ³+a₂λ²+a₁λ+a₀然后，将f(λ)的系数带入求解f(λ)=0的公式中即可求出所有的特征值λ。
其中，特征值λ的个数与A的阶数n相同。
2、特征向量的求解特征向量的求解可以通过将特征值带入到( A-λI ) p=0中得到，其中p是特征向量。
进一步地，可以将该方程转换为线性方程组Ax=0的形式，即：(A-λI)p=0假设矩阵A有k个不同的特征值λ₁,λ₂,...,λ_k，则对于每个特征值λ_i，可以得到对应的特征向量p_i，其个数与该特征值的重数r_i有关。
对于一个n阶矩阵，其总共的特征向量数为n。
三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在科学技术和工程技术中应用广泛，下面列举几个例子：1、在线性代数中，特征值与特征向量可以用于判断矩阵的相似性，同时也可以用于计算矩阵的行列式、逆矩阵、转置矩阵等。
2、在物理学中，矩阵的特征值可以用来描述量子力学的波函数，特征向量则可以用来描述波函数的各项系数。
矩阵特征与特征向量的计算
矩阵特征与特征向量的计算首先，我们来定义矩阵的特征值和特征向量。
设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个n维非零向量v，使得Av=λv，那么称λ是矩阵A的一个特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
接下来我们来看矩阵特征值的计算。
设A是一个n阶方阵，特征多项式定义为f(λ)=，A-λE，其中E是n阶单位矩阵。
特征多项式f(λ)是一个以λ为变量的n阶多项式。
那么矩阵A的特征值就是使得特征多项式f(λ)为0的λ的解。
特征多项式的根可以通过解方程f(λ)=0得到，但通常这样的计算是非常繁琐的，特别是对于高阶矩阵。
所以我们通常使用特征值的性质和计算方法来简化计算。
首先，特征值有一个非常重要的性质：特征值是与A的行列式相等的。
即特征值的和等于矩阵A的迹（即主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵A的行列式。
这个性质可以方便地用于计算特征值的近似值。
其次，特征值还有一个重要的性质：特征值与矩阵A的转置矩阵和逆矩阵相等。
即如果λ是矩阵A的特征值，那么对应的特征向量也是矩阵A的转置矩阵和逆矩阵的特征向量。
这个性质可以方便地用于计算特征向量。
接下来我们来看特征向量的计算。
对于给定的特征值λ，我们要找到对应的特征向量v。
我们可以将特征向量问题转化为求解线性方程组的问题，即求解(A-λE)v=0。
这个线性方程组称为齐次线性方程组，他的解空间就是特征值λ的特征向量的集合。
我们可以使用高斯消元法、矩阵的行列式等方法来求解这个线性方程组。
最后，我们来总结一下计算矩阵特征和特征向量的步骤：1.计算特征多项式f(λ)=，A-λE，展开并化简得到f(λ)=a_nλ^n+a_(n-1)λ^(n-1)+...+a_1λ+a_0。
2.解方程f(λ)=0，得到特征值λ1,λ2,...,λn。
3.对于每个特征值λ_i，求解线性方程组(A-λ_iE)v_i=0，得到对应的特征向量v_i。
4.对特征向量进行归一化处理，使其模长为1实际应用中，矩阵特征和特征向量的计算通常使用计算机进行，可以使用数值方法如幂法、反幂法、QR分解等来近似计算特征值和特征向量。
矩阵的特征值与特征向量算法
矩阵的特征值与特征向量算法矩阵特征值和特征向量定义A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且，λE-A，叫做A 的特征多项式。
当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。
依据普通线性代数中的概念，特征值和特征向量能够用传统的方法求得，可是实际项目中一般都是用数值分析的方法来计算。
这里介绍一下雅可比(Jacobi)迭代法求解特征值和特征向量。
雅可比(Jacobi)迭代法雅克比方法用于求实对称阵的所有特征值、特征向量。
Jacobi算法计算简单、稳定性好、精度高、求得的特征向量正交性好。
但当A为稀疏阵时，Givens旋转变换将破坏其稀疏性，且只能适用于实对称矩阵。
相关知识•矩阵A与相似矩阵 B = P A P-1的特征值相同。
•若矩阵Q满足QT Q = I,则称Q为正交矩阵。
显然Q-1 = QT,且正交阵的乘积仍为正交阵。
•若A为实对称矩阵，则存在正交阵Q，使Q A QT = diag(λ1,λ2,...,λn)，且QT 的列是相应的特征向量。
•实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准正交的特征向量系。
•Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)是正交阵，其中Givens 旋转矩阵R原理：•Jacobi 方法用平面旋转对实对称矩阵 A 做一系列旋转相似变换，从而将A 约化为对角阵，进而求出特征值与特征向量。
•R A RT 与A元素之间的关系：为使R A RT 为对角矩阵，可选择θ为：当A为n阶实对称矩阵时，设A有非对角元，apq ≠ 0 ，设Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)为：令C = R A RT,则有：若令C的非对角元素cpq = cqp = 0,则：C与A的元素满足下列关系：说明经旋转变换C = R A RT后，C的对角线元素平方和比A的对角线元素平方和增加了2apq2、而C的非对角元素平方和比A的非对角元素平方和减少了2apq2、如果不断的变换下去，则最后非对角元素可趋于0，即可通过一系列旋转变换，使A与一对角阵相似。
求矩阵特征值和特征向量
求矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在各种应用领域都有广泛的应用，比如物理、工程、计算机科学和金融等领域。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
矩阵特征值和特征向量是矩阵的两个特殊属性，它们对于描述矩阵的性质和解决实际问题都有重要的作用。
矩阵特征值指的是一个矩阵在一个数域内的某个数λ，使得矩阵与该数的乘积可以表示成该矩阵与某个向量v的乘积，用符号表示为：Av = λv其中，A表示矩阵，v表示非零向量，λ表示矩阵A的特征值。
当v存在时，称v是矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。
矩阵特征值和特征向量的定义表明，矩阵的特征值和特征向量是矩阵变换的重要性质。
矩阵的特征值和特征向量不仅描述了矩阵的本质特点，还可以用于解决实际问题，如图像处理、信号处理、统计学和机器学习等。
1. 对于一个n阶矩阵，它有n个特征值和n个特征向量。
2. 一个矩阵的特征向量组成的向量空间称为矩阵的特征向量空间，特征向量空间的维度不超过矩阵的阶数。
3. 如果矩阵A的一个特征值λ的代数重数为k，其对应的特征向量的个数最多为k 个。
4. 如果矩阵A的两个特征值λ1和λ2不同，它们对应的特征向量一定线性无关。
5. 如果矩阵A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数，对应的特征向量可以选取为正交向量。
6. 如果矩阵A是正定矩阵，所有特征值都是正实数。
计算矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个基本问题。
下面将介绍几种常用的计算方法。
1. 利用矩阵的行列式求特征值特征值λ是矩阵A满足如下方程的根：|A - λI|=0其中，I表示n阶单位矩阵。
解出方程得到的根即为矩阵的特征值。
矩阵A的特征值之和等于矩阵A的迹，即：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A)表示矩阵A的迹，即主对角线上元素的和。
3. 利用特征向量递推求特征值和特征向量如果矩阵A有n个不同的特征值λ1、λ2、…、λn，则每个特征值都对应一个线性无关的特征向量。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。