应用二元一次方程组——鸡兔同笼1【公开课教案】(含反思)
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②证明：内错角相等,两直线平行．
师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）
生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．
师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．
师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．
③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．
活动目的：
通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．
教学效果：
生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．
师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．
活动目的：
通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．
教学效果：
由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．
解：设饭碗有x只，汤碗有y只．由题意，得 解得 则僧人数量为3×208＝624(人)．
所以寺庙内共有僧人624人．
方法总结：古诗型问题是应用题中的一个常见类型，这种题型是通过诗歌的形式向大家说明几个量之间的关系，进而提出问题．解决这类问题的关键是要读懂题意，分清各量之间的关系，找出题中隐含的相等的量，列出方程组，从而解决实际问题．
活动目的：
回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．
教学效果：
由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．
第二环节：探索平行线判定方法的证明
活动内容：
①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
三、板书设计（这节课适合使用思维导图方式设计）
列方程组,解决问题)
通过“鸡兔同笼”，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”；进一步强调数学与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识．
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．
第三环节：反馈练习
活动内容：
课本第231页的随堂练习第一题
活动目的：
巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．
教学效果：
由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．
第四环节：学生反思与课堂小结
活动内容：
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：
7.3平行线的判定
第一环节：情景引入
活动内容：
回顾两直线平行的判定方法
师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在交的两条直线就叫做平行线．
生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．
生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
5
1．能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点)
一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若是每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
探究点二：列二元一次方程组解决实际问题
某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有 的学生，乙班有 的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人．
解析：本题的未知数有两个，即甲班的人数和乙班的人数；本题所含的等量关系有：①甲班人数＋乙班人数＝93；②甲班人数× ＋乙班人数× ＝27.
师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）
证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）
解：设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人，根据题意，得 解得
答：甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．
方法总结：设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．
学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．
课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题
思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）
教学反思
平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．
③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．
如何证明这个题呢？我们来分析分析．
师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．
二、合作探究
探究点一：二元一次方程组在古代问题中的应用
列方程组解古算题：
“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．
三百六十四只碗，看看用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生明算者，算来寺内几多僧？”
解析：题目大意是：一座寺庙内不知有多少僧人，但饭碗和汤碗共有364只．如果3人共用一个饭碗吃饭，4人共用一个汤碗喝汤，都正好用完所有的碗，问寺庙内共有多少僧人？本题如果直接将僧人的人数设为x，则不易列方程组求解，因此需采用间接设法．
师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．
我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．
师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）
生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．
师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．
师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．
③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．
活动目的：
通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．
教学效果：
生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．
师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．
活动目的：
通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．
教学效果：
由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．
解：设饭碗有x只，汤碗有y只．由题意，得 解得 则僧人数量为3×208＝624(人)．
所以寺庙内共有僧人624人．
方法总结：古诗型问题是应用题中的一个常见类型，这种题型是通过诗歌的形式向大家说明几个量之间的关系，进而提出问题．解决这类问题的关键是要读懂题意，分清各量之间的关系，找出题中隐含的相等的量，列出方程组，从而解决实际问题．
活动目的：
回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．
教学效果：
由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．
第二环节：探索平行线判定方法的证明
活动内容：
①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
三、板书设计（这节课适合使用思维导图方式设计）
列方程组,解决问题)
通过“鸡兔同笼”，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”；进一步强调数学与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识．
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．
第三环节：反馈练习
活动内容：
课本第231页的随堂练习第一题
活动目的：
巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．
教学效果：
由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．
第四环节：学生反思与课堂小结
活动内容：
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：
7.3平行线的判定
第一环节：情景引入
活动内容：
回顾两直线平行的判定方法
师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在交的两条直线就叫做平行线．
生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．
生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
5
1．能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点)
一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若是每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
探究点二：列二元一次方程组解决实际问题
某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有 的学生，乙班有 的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人．
解析：本题的未知数有两个，即甲班的人数和乙班的人数；本题所含的等量关系有：①甲班人数＋乙班人数＝93；②甲班人数× ＋乙班人数× ＝27.
师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）
证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）
解：设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人，根据题意，得 解得
答：甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．
方法总结：设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．
学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．
课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题
思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）
教学反思
平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．
③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．
如何证明这个题呢？我们来分析分析．
师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．
二、合作探究
探究点一：二元一次方程组在古代问题中的应用
列方程组解古算题：
“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．
三百六十四只碗，看看用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生明算者，算来寺内几多僧？”
解析：题目大意是：一座寺庙内不知有多少僧人，但饭碗和汤碗共有364只．如果3人共用一个饭碗吃饭，4人共用一个汤碗喝汤，都正好用完所有的碗，问寺庙内共有多少僧人？本题如果直接将僧人的人数设为x，则不易列方程组求解，因此需采用间接设法．
师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．
我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．