行列式定义
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a22
a a 1 (21) 12 21
= a11a22 a12a21
例2 三阶行列式
a11 a12 a13
a a a 1 a21 a22 a23
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31
D2
a21b a22 a2nb2n
an1bn1 an2bn2 ann 证明 D1 D2 .
证 由行列式定义有
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
1 a a a τp1p2 pn
1p1 2p2
np n
p1p2 pn
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D
1 a a L a ( p1p2L pn )
p11 p2 2
pnn
例8 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
a11a23a35a43a56a64 是否都是六阶行列式中的项.
解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t431265 0 1 2 2 0 1 6
p1q1 p2q2
pnqn
证明：分析
行 列 式 的 任 何 一 项 a a p1q1 p2q2 apnqn 都 可 以 通 过 一 系 列 的 元 素 对 换 变 成 a1l1 a2l2 anln 当a a p1q1 p2q2 a pnqn的元素发生一次对换， 例如变成a p2q2 a p1q1 a pnqn , 相应的符号变成
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只需要取 4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0 0 2 0 1 43211 2 3 4 24.
0300 4000
例4 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann
(1) ( p2 p1 p3 pn ) (q2q1q3 qn )
定理2 பைடு நூலகம்阶行列式也可定义为
D
1 a a p11 p2 2 apnn
其中 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
证明
根据定理1，只要将行列式中的每 一项换成按列指标为自然（或称标 准）排列。
因为列指标的排列逆序数为0，所以有：
nn1
1 2 12 n .
n
证明
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
n
1
2
a1n a2,n1
an1
1 τnn1 21a1na2,n1 an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22
a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b τp1p2 pn 1p1 2p2
12 np1 p2 pn
np n
p1p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2， ，n 的一个排列，
p1 p2 pn 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 a a a p1p2 pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
12 n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
1 t p1 p2 pn a1 p1a2 p2 anpn
p1 p2 pn
故 D1
1
a a t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
anpn
D2 .
p1 p2 pn
定理 n 阶行列式也可定义为
D
1 a a a p1p2 pn q1q2 qn
1234
例5
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例6 证明对角行列式
1
2
解 分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0 a22
a2n
1
a a t 12 n 11 22
ann
0 0 ann a11a22 ann .
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、a1p1a2 p2 anpn的符号为1 p1p2 pn
5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
例1. 二阶行列式
a11
a21
a12 = a a 1 (12) 11 22
1 312a13a21a32 1 321 a13a22a31
a a a = a11a22a33 - 11 23 32 - a12a21a33
+ a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31
例3 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
解 分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
a a 1 (21) 12 21
= a11a22 a12a21
例2 三阶行列式
a11 a12 a13
a a a 1 a21 a22 a23
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31
D2
a21b a22 a2nb2n
an1bn1 an2bn2 ann 证明 D1 D2 .
证 由行列式定义有
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
1 a a a τp1p2 pn
1p1 2p2
np n
p1p2 pn
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D
1 a a L a ( p1p2L pn )
p11 p2 2
pnn
例8 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
a11a23a35a43a56a64 是否都是六阶行列式中的项.
解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t431265 0 1 2 2 0 1 6
p1q1 p2q2
pnqn
证明：分析
行 列 式 的 任 何 一 项 a a p1q1 p2q2 apnqn 都 可 以 通 过 一 系 列 的 元 素 对 换 变 成 a1l1 a2l2 anln 当a a p1q1 p2q2 a pnqn的元素发生一次对换， 例如变成a p2q2 a p1q1 a pnqn , 相应的符号变成
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只需要取 4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0 0 2 0 1 43211 2 3 4 24.
0300 4000
例4 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann
(1) ( p2 p1 p3 pn ) (q2q1q3 qn )
定理2 பைடு நூலகம்阶行列式也可定义为
D
1 a a p11 p2 2 apnn
其中 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
证明
根据定理1，只要将行列式中的每 一项换成按列指标为自然（或称标 准）排列。
因为列指标的排列逆序数为0，所以有：
nn1
1 2 12 n .
n
证明
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
n
1
2
a1n a2,n1
an1
1 τnn1 21a1na2,n1 an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22
a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b τp1p2 pn 1p1 2p2
12 np1 p2 pn
np n
p1p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2， ，n 的一个排列，
p1 p2 pn 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 a a a p1p2 pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
12 n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
1 t p1 p2 pn a1 p1a2 p2 anpn
p1 p2 pn
故 D1
1
a a t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
anpn
D2 .
p1 p2 pn
定理 n 阶行列式也可定义为
D
1 a a a p1p2 pn q1q2 qn
1234
例5
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例6 证明对角行列式
1
2
解 分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0 a22
a2n
1
a a t 12 n 11 22
ann
0 0 ann a11a22 ann .
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、a1p1a2 p2 anpn的符号为1 p1p2 pn
5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
例1. 二阶行列式
a11
a21
a12 = a a 1 (12) 11 22
1 312a13a21a32 1 321 a13a22a31
a a a = a11a22a33 - 11 23 32 - a12a21a33
+ a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31
例3 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
解 分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4