分段函数的几种常见题型及解法
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复习教案：
分段函数的几种常见
题型及解法
数学组
分段函数的几种常见题型及解法
【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式.
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.
它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类
型的求解不少同学感到困难较多， 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1． 求分段函数的定义域和值域
分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>⎧⎪
=+<≤⎨⎪+-≤≤⎩
的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
【解析】
作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为
[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.
例5．求函数的值域。
解：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，-x 2<0。
1
1
o 32
2
-1
y x
-1
所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。
注：分段函数的值域求解，只要分别求出各部分的值域，再取其并集即可。
2． 求分段函数的函数值
在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式
例1、（辽宁理）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
2、（2006山东）设12
32(2),
()(1)(2).log x x f x x e x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩
则[(2)]f f = A.0 B.1 C.2 D.3
3、 已知
=
)(x f ⎩⎨⎧ －log 3(x + 1)(x>6)
3x －6(x ≤6)
，若记)(1
x f
-为)
(x f 的反函数，且
),9
1
(1-=f a 则
=+)4(a f .
4 、设2
22(1),
()1(1).1x x f x x x
⎧--≤⎪
=⎨>⎪+⎩ 则1[()]2f f = ( ） A.12 B.413 C.95- D.2541
5、 已知sin (0),()(1)1(0).
x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则1111
()()66f f -+的值为 .
4．（05年浙江理）已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
【解析】
因为311
222()|1|2f =--=-, 所以31222
32
14
[()]()1()13f f f =-=
=+-.
例1 已知函数
求f{f[f(a)]} (a<0)的值。
分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由
a<0, f(a)=2a ，又0<2a <1,
,
,
所以，。
注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
例4．设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1,x ∈R, 求f(x)的最小值。
分析：因为原函数可化为
所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。