2019-2020学年北京市人大附中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年北京市人大附中高一（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共60.0分）

1.下列角位于第三象限的是

A. B. C. D.

2.若，则

A. B.

C. D.

3.已知扇形AOB的圆心角，弧长为，则该扇形的面积为

A. B. C. 6 D. 12

4.已知，则

A. B. C. D.

5.函数且的图象是下图中的

A. B.

C. D.

6.函数的最小正周期为，则满足

A. 在上单调递增

B. 图象关于直线对称

C. D. 当时有最小值

7.已知向量，，若，则

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8.为了得到函数的图象，只需把上所有的点

A. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位

B. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位

C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位

D. 先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位

9.若，

A. B. C. D.

10.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是

勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所

示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，共35.0分）

11.设函数，则函数的最小正周期为______；若对于任意

，都有成立，则实数m的最小值为______．

12.已知向量，的夹角为，，且对于任意的，都有

，则______．

13.已知函数满足，，且在区间

上单调，则的值有______个．

14.如图，半径为2的扇形的圆心角为，M，N分别为半径

OP，OQ的中点，A为上任意一点，则的取值

范围是______ ．

15.对于函数现有下列结论：

任取，，都有；

函数在上单调递增；

函数有3个零点；

若关于x的方程恰有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______写出所有正确命题的序号

三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）

16.已知，为锐角，，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ的值．

17.设函数．

求函数的周期和单调递增区间；

当时，求函数的最大值及对应的自变量取值．

18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

，．

，，

．

试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

19.如图1所示，一条直角走廊宽为am，

若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且，试求铁棒的长l；

若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；

现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽AD为如图平板车若想顺利通过直角走廊，其长度l不能超过多少米？

答案和解析

1.【答案】D

{解析}【分析】

分别写出四个角的范围得答案．

本题考查象限角及轴线角，是基础题．

【解答】

解：，是第二象限角；

，是第二象限角；

，是第二象限角；

，是第三象限角．

故选：D．

2.【答案】D

{解析}【分析】

本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小．

根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角得正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较出三角函数线的大小．

【解答】

解：由三角函数线的定义作出下图：

OP是角的终边，圆O是单位圆，

则，，，

，

，即，

故选D．

3.【答案】A

{解析}解：扇形AOB的圆心角，弧长为，

扇形的半径，

扇形的面积为．

故选：A．

利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．

本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．

4.【答案】A

{解析}解：，

．

故选：A．

由已知利用诱导公式即可化简求值得解．

本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】C

{解析}解：当时，，排除B，D．

当时，，排除A．

故选：C．

根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．

本题考查了象限角的三角函数的符号，属于基础题．

6.【答案】D

{解析}解：函数的最小正周期为，

，

；

当时，，单调递减，A错误；

时，，，其图象不关于直线对称，B错误；

，C错误；

时，，D正确．

故选：D．

根据函数的最小正周期求出的值，写出的解析式，

再判断四个选项是否正确即可．

本题考查了余弦函数的图象与性质的问题，是基础题．

7.【答案】A

{解析}解：向量，，若，则，

求得，

故选：A．

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．