第五章傅里叶(Fourier)变换

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叫做傅里叶余弦级数, f ‘(0)=f ‘(l)=0
三 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
f(x)定义在(0,l),可以采取延拓的方法,使其成为 某种周期函数g(x), 而在(0,l)上,g(x)≡f(x).然后对 g(x)作傅立叶级数展开,该级数的和在(0,l)上代 表f(x). 延拓的方式有无数种,因而展开式也有无数种, 但他们在(0,l)上均代表f(x)。 有时,对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的 方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ,则应延拓成奇周期 函数,如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ,则应延拓成偶的 周期函数。

T 2
f (t )
ce
k
1 iwk t ck T fT (t )e dt T 2 1 2 1 1 iwk t iwk t f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 iwk t e eiwk e iwk 4iwk 1 4iwk 1 sin wk 1 sinc(wk ) (k 0, 1, 2, K ) 2 wk 2
f ( x) a0 (ak cos wk x bk sin wk x)
实数形式
1 T a0 2T f ( ) d T 2 2 T ak 2T f ( ) cos wk d (k 1, 2, L ) T 2 2 T bk 2T f ( ) sin wk d (k 1, 2, L ) T 2
c0 ck e
k 1

i
kp x l
ck e

i
kp x l

2p kp 若2l T,则 w, k w wk l T l
p
k 1
k
ce
k

i
kp x l
(5.1.13)
2p kp 若2l T,则 w, k w wk l T l
称为傅里叶系数
2 傅里叶级数的收敛性
. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数 逼近, 而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区 间[-l,l]上
(1), 连续或只有有限个第一类间断点 (2), 只有有限个极值点 则级数是收敛的,且
级数和=
{
f ( x) (在连续点x) 1 [ f ( x 0) f ( x 0)](在间断点) 2
l
利用上述正交性,可以求得级数展开的各系数:
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
1 傅里叶级数
若函数f(x)以2l为周期,即 则可取三角函数族
1, cos
f(x+2l)=f(x)
2px kpx ,...cos ,... l l l px 2px kpx sin , sin ,...sin ,... l l l , cos
px
作为基本函数族,将f(x)展为傅里叶级数
叫做傅里叶正弦级数, f(0)=f(l)=0
若f(x)是偶函数,则bk为0,展开式为
kpx f ( x) a0 ak cos l k 1

(5.1.10)
1 l 1 l a0 f ( ) d f ( ) d 2l l l 0 1 l kp 2 l kp ak f ( ) cos d f ( ) cos d ( k 1, 2, ) l 0 l l l l 1 l kp bk f ( ) sin d 0 (k 1, 2, ) l l l
四 复数形式的傅立叶级数
利用三角函数的指数形式
eij e ij eij e ij 由cos j , sin j i 2 2
可将级数表示为:
kpx kpx kpx kpx i i i i l l l l e e e e f ( x) a0 ak ibk 2 2 k 1
书中处理了各种边界条件下的热传导问题,以系统地运用三角 级数和三角积分而著称,他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅 里叶积分,这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言:“任意” 函数(实际上要满足 一定的条件,例如分段单调)都可以展开成三 角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普 遍性,但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求 解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展,特 别是数学物理等应用数学的发展; 其次,傅里叶级数拓广了函数概 念,从而极大地推动了函数论的研究,其影响还扩及纯粹数学的其 他领域。 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具, 并且认为“ 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学 史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。
二 奇函数和偶函数的傅里叶展开
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

若f(x)是奇函数,则 a 为 0 k
kpx f ( x) bk sin l k 1 (5.1.8)
1 l a0 f ( ) d 0 2l l 1 l kp ak f ( ) cos d 0(k 1, 2, ) l l l 1 l kp 2 l kp bk f ( )sin d f ( )sin d (k 1, 2, ) l 0 l l l l
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
掌握Fourier级数的展开方法 掌握Fourier积分与Fourier变换方法 了解δ函数的基本性质
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
§5.1傅里叶级数
一 .周期函数的傅里叶展开wk.baidu.com
傅立叶

傅立叶(公元1768年~1830年),法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔,1830年5月16日 卒于巴黎。9岁父母双亡,被当地教堂收养。12岁由一主 教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学,1794到巴 黎,成为高等师范学校的首批学员,次年到巴黎综合工科 学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃 及研究院秘书,1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年当选为科学院院士,1822年任该院终身秘书,后 又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和”——傅里叶的第一个 主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随 时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒 重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
k 1
p
f ( x)
复数形式
k

T 2

ck eiwk x
1 ck T
T 2

f ( )[eiwk ]* d

例 定义方波函数为
如图所示:
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
f(t)
1
1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期 函数fT(t), 令T=4, 则
l kp
1 l a0 f ( ) d 2l l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2,) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
i 1 ck f ( )[e l ]* d (5.1.14) 2l l x kp x i i kp l l f ( x) c0 ck e c k e k 1
1 T=4 1 3
f4(t)
t


sinc函数介绍
sinc 函数定义为 sin x sinc( x) x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作 sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究,1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查,由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾,而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献,其中基本上包括了他的数学 思想和数学成 就。
f 4 (t )
2p 2p p w , T 4 2
f4(t)
n


f (t 4n),
求傅立叶级数展开
kp w k kw 2
1
T=4
1
3
t
则由 得
f ( x)
k
ck e
k
T 2

iwk x
1 ; ck T
iwk x
T 2

f ( )[eiwk ]* d
第一类间断点和第二类间断点的区别: 左极限及右 极限都存在
第一类间断点
第二类间断点
f (t ) tg t
不满足狄氏条件的例:
存在第二类间断点 1 f (t ) sin( ) t 在靠近0处存在着无限多个极值点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的 变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连 续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不 连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一 些.
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
x kpx i ak ibk i kp ak ibk l l a0 e e 2 2 k 1
由于
且令c0 a0 , ak ibk ck , k 1, 2,3, K 2 ak ibk c k , k 1, 2,3, K 2
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