一级倒立摆系统最优控制

摘要

倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。因此，倒立摆系统经常被用来检验控制策略的实际效果。应用上，倒立摆广泛应用于航空航天控制、机器人，杂项顶杆表演等领域，研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制也有着重要的工程应用价值。

本文以固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统为研究对象，对直线一级倒立摆模型进行了建模，控制算法的仿真对比，并得出了相应的结论。

文中介绍了倒立摆的分类、特性、控制目标、控制方法等以及倒立摆控制研究的发展及其现状。利用牛顿力学方法推到了直线以及倒立摆的动力学模型，求出其传递函数及其状态空间方程。

在建立了系统模型的基础下，本文还研究了倒立摆系统的线性二次型最优控制问题，并且使用了MATLAB软件进行仿真，通过改变LQR模块及状态空间模块中的参数，在仿真中取得了不同的控制效果，最终得到了最好的控制效果。

关键字：一级倒立摆线性系统、数学建模、最优控制、LQR、仿真

目录

1 一阶倒立摆的概述 (1)

1.1倒立摆的起源与国内外发展现状 (1)

1.2倒立摆系统的组成 (1)

1.3倒立摆的分类： (1)

1.4倒立摆的控制方法： (2)

2．一阶倒立摆数学模型的建立 (3)

2.1概述 (3)

2.2数学模型的建立 (4)

2.4实际参数代入： (5)

3．定量、定性分析系统的性能 (7)

3.1对系统的稳定性进行分析 (7)

3.2 对系统的能空性和能观测性进行分析： (8)

4．线性二次型最优控制设计 (9)

4.1线性二次最优控制简介 (9)

4.2 直线一级倒立摆LQR控制算法 (10)

4.3 最优控制MATLAB仿真 (18)

总结 (21)

参考文献 (22)

1 一阶倒立摆的概述

1.1倒立摆的起源与国内外发展现状

倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定，严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。

图1 一级倒立摆

1.2倒立摆系统的组成

倒立摆系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，传感器和倒立摆本体五部分构成。

1.3倒立摆的分类：

1，根据摆杆数目的不同，可以把倒立摆分为一级，二级和三级倒立摆等

2，根据摆杆间连接形式不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；

3根据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆；

4根据控制电机的不同，可以把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5根据摆杆与小车的连接方式不同，可以把倒立摆分为刚性摆和柔性摆

6根据运动方式不同，可以把倒立摆分为平面倒立摆，直线倒立摆和旋转倒立摆。

1.4倒立摆的控制方法：

1）PID控制：该方法出现的最早，首先是对倒立摆系统进行力学分析，并在牛顿定律基础上得到运动方程，然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数，最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。

2）状态反馈控制：极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器3）线性二次型最优控制（LQR）

LQR最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。

2．一阶倒立摆数学模型的建立

2.1概述

倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。

在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下：

图2 一阶倒立摆系统的结构示意图

定义的参数为：

M小车质量

m摆杆质量

b小车摩擦系数

I摆杆惯量

u 加在小车上的力

x小车位置

l摆杆转动轴心到杆质心的长度

摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）

得到小车和摆杆的受力图：

图3 小车和摆杆的受力图

2.2数学模型的建立

根据牛顿第二定律对系统进行分析可以得出

)sin (22

2

2θl x dt

d m dt x d M dt dx b u ++=-

式（1）

求导可得

θθθθsin cos )(2 ml ml x

m M x b u -++=- 式（2）

整理可得

θθθθsin cos )(2 ml ml x

m M x b u -+++= 式（3）

又对系统的力矩进行分析，由力矩平衡可得

()θθθθ I l l x dt d m mgl +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=cos sin sin 22 式（4）

求导整理可得

θθθθθθθcos sin cos cos sin 22 l l x

g -+= 式（5）

因为方程为非线性方程，需做线性化处理。由于控制的目的是保持倒摆直立，

因此在施加合适u 的条件下，可认为θ、θ

均接近零，此θθ≈sin 、1cos ≈θ，且可忽略2θ 和θ项，于是可得