天体运动

GM 4 1014 m3 s2 .
还有地球公转的平均轨道速度是多大？公式是 v 2 r /T ，其中 r 是日-地平均距离， T 是地
2
球公转周期，把 r , T 的值代进去就得 v 104 c ， c 是光速，所以地球公转的轨道速度是光速的 万分之一，因此
v 30 km s1 .
fg
GM m

由 还可以算出周期 T ，
GM r
3
,
v
GM , r
T
所以
2

2
r3 , GM
r 3 GM 常量（对任何行星都相同）. T2 4 2
1
实际上， r 3 2 和 r v 2 也都是对任何行星都相同的常量。但实际上行星的轨道都多多少少是椭圆 形的，这时式中的 r 要取为椭圆的半长轴 a （见后） ，因此
1 L S rv sin t t , 2 2m
见图（图中把 v t 夸大了） ，所以，如果 S/t 与时间无关， 那就说明 L 是一个守恒量。 总能量（动能加势能）和角动量是质点在平方反比力场中运动时两个基本的守恒量。
知识点 2：几个重要的天文数据
从前面的分析我们看到，对于我们关心的问题，太阳和地球的质量（实际上是 GM ）是很 重要的基本数据。那么，我们能够从一些已知的基本数据得出这些数据吗？ 有一些数据是大家经常用的，比如地球表面的重力加速度 g 9.8 m s2 10 m s2 ，地球的 半径 R 6.4 106 m 26 105 m 。这里还告诉大家两个很容易记住的数值：1 年（也就是地 球绕太阳公转的周期） 107 s ，或者说地球绕太阳公转的角速度 2 107 s1 ，以及地球 到太阳的平均距离（在天文学中这个距离被称为天文单位 AU） 500 光秒（1 光秒就是光在 1 秒钟里走过的距离） 。还有牛顿引力常数的值 G (2 /3) 1010 m3 kg 1 s2 其实也不难记。 有了这些准备， 我们就可以导出不少我们关心的数据。 比如地球的质量是多大？公式显然是
GM m GM m 1 E mv2 , 2 r 2a 这就是说，行星的总能量（动能加势能）是当它与太阳的距离为 a 的时候的势能的一半，所以
1 1 v 2GM , r 2a
尤其是，它在近日点的时候速率是
GM 1 1 vmax 2GM (1 ), p rmin 2 a
h 3.6 107 m 36000 km.
这个值也很容易记住。
知识点 3：椭圆轨道的参数表征
先看行星围绕太阳的转动。推导的过程要用到高等数学，所以这里只介绍结果。以下总假设 太阳质量远大于行星质量。 行星的椭圆轨道的极坐标方程是（取太阳为 r 0 ，近日点为 0 ）
p , 1 cos 其中 p 叫做焦点参数， 是偏心率（也称离心率） 。所以，只要给定了 p 和 ，椭圆轨道的形状 r
2 它和准确数值 v 29.8 km s 1 也几乎一样。 还有太阳的质量是多大？公式是 M v 把 r /G ，
v , r , G 的值代进去，得到 M 2.03 1030 kg ，它和准确值 M 1.99 1030 kg 相差大了一
点，我们不妨直接记 M 2 1030 kg ，所以
2 M gR / G ，把 g , R , G 的值代进去，得 M 9.8 212 1010 3 2 1010 kg ，但是我们
并不需要算得特别准， 所以不妨近似取 9.8 10 和 210 103 ， 那么马上得到了 M 6 1024 kg 。 令人惊异的是它和准确数值 M 5.98 1024 kg 几乎没有差别。所以
3
p 和 给出以后，椭圆的其它形状参数可如下决定，见图，图中的
F 代表太阳所在的位置，也就是椭圆的一个焦点。由轨道方程看出
所以行星在近日点和远 0 对应着近日点， 对应着远日点， 日点与太阳的距离分别是
rmin
椭圆的半长轴是
p , 1
rmax
p , 1
a
半短轴是
就完全定了。从动力学的角度来说，它们取决于行星在运动过程中的两个独立的守恒量：角动量
L 和总能量 E 。轨道参数 p 完全由角动量 L 决定：
p L2 , GM m2
GM m . 2p
注意到 L 正比于行星质量 m ，所以实际上 p 和 m 是无关的。但是总能量 E 还与偏心率 有关：
E (1 2 )
p rmax rmin , 2 12
p 12 ,
b ap
图中的线段 c 是
c a2 b 2 a
而行星的运动周期是
p . 12
T 2
a3 , GM
也就是说，现在半长轴 a 代替了圆轨道中半径 r 的位置而决定了周期。当然，也可以给定半长轴
a 和偏心率 。在这种情况下，确定其它参数的公式是：
S 常量（与时间无关）. t 当然， 这个定律只有在行星沿椭圆轨道运动的时候才有实际的意义。 这个定律反映了行星绕太阳
公转时行星的角动量是守恒的。我们在前面的讲座里给出了角动量 L 的一般定义：
L rmv sin ,
其中 r 是质点 m 到中心 O 的瞬时距离， v 是质点的瞬时速度， 现在取一个小的时间间隔 t ， 那么质点在 是 r 和 v 的夹角。 这段时间里走过的位移是 v t ，它的矢径扫过的面积就是
a3 GM 常量（对任何行星都相同）. T2 4 2
这就是开普勒第三定律。 开普勒第二定律（也称面积定律）是：在相等的时间内，太 阳和行星的连线所扫过的面积都相等，即（见图）
SAB SCD SEK ,
或者说面积速度是一个常量，即，假设在一个小的时间间隔 t 里 太阳到行星的连线（矢径）扫过的面积是 S ，那么
在远日点的时候速率是
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
1 GM 1 vmin 2GM (1 ). p rmax 2 a
所以 v
GM GM vmax vmin ，这个结果不妨对比圆轨道上的速度 v 2 p r
。
原题的解
2 我们在前面主要是针对行星的运动，如果是针对地球卫星的运动，那么就有 GMe gRe ，
1 g 6 g 1 。当飞船到达卫星的时候， vA vmax vA Re 2 g 1 Re rA 5 rA rA rA rB g 1 g 1 2 8 2g Re 它的速率必须再次增加 vB vB vmin Re ， rB rB rA rB 3 15 rA
GM (4 /3) 1020 m3 s2 .
说到地球质量和太阳质量的比较，我们发现 M : M 3 106 ，就是说地球质量是太阳质量的 百万分之三。 我们也很关心与地球卫星（包括月球和人造地球卫星）有关的数据。比如月球距离地球有多 远？这时候需要一个补充的数据，就是月球绕地球转动的周期，这个周期也叫做一个月（是天文 的月，不是历法的月） 。但是还必须区分两个不同的月，一个叫朔望月，也就是从新月到新月的 时间间隔，大约是 29.5 日 2.55 106 s ，另一个叫恒星月，也就是以恒星为准的转动周期，大 约是 27.3 日 2.36 106 s 。前者是在地球上看月亮，是跟地球一起自转的观察者，不是惯性参 考系，后者才是惯性系，所以我们应该用后者。在式子 r (GMT 2 / 4 2 )1/3 中代入 GM 和 T 的值，得到 r 3.84 108 m ，和观察值是一致的。这个距离很容易记住，因为它正好是地球半 径的 60 倍。再比如地球同步卫星（在赤道上空看起来不动的卫星）的高度是多少？这时候应该 取 T 1 d 86400 s ，得到 r 4.23 107 m ，再减去地球的半径，得高度为
, r2 这个吸引力就起到了维持行星在圆轨道上运动的向心力的作用。设行星的轨道速度为 v ，角速度
为 ，在太阳质量远大于行星质量的条件下，行星的运动方程是 m 2 r mv2 / r GM m / r 2 ， 消去 m 得 2 r v2 / r GM / r 2 ，所以实际上 v 和 都与 m 无关。如果取 r 为行星轨道的基本 参数，那么
天体运动
题目：某个宇航空间站 A 绕地球做圆周运动，其轨道半径为 一个人造地球卫星 B 在同一轨道平面和同样的逆 rA 6.73 106 m 。 时针方向上也做圆周运动， 轨道半径为 rB (3 /2)rA 。 现从空间站上 发射一艘飞船（假设对空间站无反冲）前去回收该卫星。为了节省 燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中都采 用在同一平面内同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行， 而且其近地点和远地点分别位于空间站和卫星的圆轨道上。已知地球半径 Re 6.38 106 m ，地 球表面重力加速度 g 9.80 m s2 。求飞船离开空间站 A 进入椭圆轨道所必须的速率增量 vA ， 以及若飞船在远地点恰与卫星 B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速率增量 vB 。
p (1 2 )a, rmin (1 )a, rmax (1 )a, b 1 2 a, c a.
如果是给出了 rmax 和 rmin ，那么其它参数由下面的公式决定：
p
2rmax rmin r r r r r r , max min , a max min , b rmax rmin , c max min . rmax rmin rmax rmin 2 2
在轨道参数完全确定以后，就可以决定行星的运动。比如：当行星和太阳的距离为 r 的时候 它的速率是多大？这时候最好用能量关系。因为行星的总能量是
GM m GM m 1 E mv2 (1 2 ) , 2 r 2p
再注意到前面给出的 a p /(1 2 ) ，它又可以写为
知识点 1：质点在库仑力场和重力场中的运动特征，开普勒三定律
库仑力和重力的共同特点是力和距离的平方成反比，只不过库仑力是同性相斥、异性相吸， 而重力永远是吸引的。我们这里只考虑吸引的情形，所以它的结果适用于大到行星绕太阳旋转， 卫星绕地球旋转，小到电子绕氢原子核旋转。事实上，排斥的情形也占有重要的地位（例如卢瑟 福散射） ，但是中学物理一般不考虑。 以下将以行星绕太阳旋转为例来说明， 结果不难推广到其它情形。 它的规律是众所周知的开 普勒三定律。 一般地说，行星绕太阳旋转的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动的 开普勒第一定律。椭圆及其焦点的数学定义是：到两个定点的距离之和为定值（这个和当然要大 于两个定点之间的距离）的点的轨迹叫椭圆，两个定点称为椭圆的焦点。这个定律的证明要用到 高等数学，此处不再介绍。当两个定点重合时，椭圆退化为圆，定点即为圆心。 为简单起见，我们先从圆轨道开始。设太阳的质量为 M ，行星的质量为 m ，圆轨道的半 径为 r ，牛顿重力常数为 G ，那么它们之间的吸引重力为
所以圆轨道地球卫星的速度公式就成为 v Re
g ，因此空间站 A 和卫星 B 的轨道速度分别为 r
v A Re
g g 2 和 vB Re 。另一方面，根据上面给出的公式（其中也用 gRe 代替 GMe ） ，飞 rA rB
1 1 船在椭圆转移轨道上近地点的速率是 vmax Re 2 g ，其中 2 a rA rB ，远地点的速 rA 2 a 1 1 率是 vmin Re 2 g 。所以飞船要想离开空间站进入椭圆轨道飞行，它的速率必须增加 rB 2 a