电感元件的伏安特性

A2的模
r2 ( 3) 2 42 5
4 126 .9 3
(在第二象限)
辐角 2 arctan
则A2的极坐标形式为 A2 5 / 126.9
例 写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。
解 三角形式A=100（cos30°+jsin30° 代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50 3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3 A
O
4
＋1
复数在复平面上的表示
＋j b P
r

O a ＋1
复数的矢量表示
r A a 2 b2 b arctan ( 2 ) a
a r cos b r sin
2.
(1) 复数的代数形式
A a jb
(2) 复数的三角形式
(1)φ 12=θ 1-θ 2>0且|φ 12|≤π 弧度
(2) φ
(3) φ
12=θ 1-θ 2<0且|φ 12|≤π
弧度
12=θ 1-θ 2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ
12=θ 1-θ 2=π
, 称这两个正弦量反相
/2, 称这两个正弦量正交
(5) φ
12=θ 1-θ 2=π
同频率正弦量的几种相位关系
当φ>0，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于φ=0的 左移φ角，
当φ<0，正弦波零点在计时起点之右，其波形相对于φ=0的 波形右移|φ|角， 确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i
i2＝Imsin( t＋ 2)
i
i3＝Imsin( t＋ 6 )
例 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积A· B 解 A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2 A· B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°· 10/-53.1°=100/-16.2° =96-j28=4(24-j7)=100/-16.2 °
1.正弦量的相量表示
设某正弦电流为： 而
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素
按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为 正弦量，如图3-1-1所示。
以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的 一般解析函数式为
i(t ) I m sin(t )
1.
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。 2. 周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T” 表示，单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频 率，用“f ” 表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成
Im I 0.707I m 2 Um U 0.707 Um 2 U m 220 2 311 V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
wT 5 I m sin 60 A 4
(2)当t＝100ms时
π 2π iba (t ) iab 5 sin( 2000 πt π) 5 sin( 2000 πt )mA 3 3
2π iba (0.1) 5 sin( ) 4.33mA 3
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ” 表示。
A1 a1 jb1 r1 1 A2 a2 jb2 r2 2
则
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )（4.16）
＋j
A1＋A2
A2 A1－A2 A1 O ＋1
(2) 复数的乘除法
复数相加减矢量图
A B r1 1 r2 2 r1 r2 1 2 A r1 1 r1 1 2 B r2 2 r2
i(t ) 2 I sin(t ) i
2 Ie j(ωt ) 2 I cos(ωt i) j 2 I sin( ωt i)
上式的虚部恰好是正弦电流i，用Im［ ］是取复数虚部的 运算符号，则：
i I [ 2e m j(t ) j t i j t ] 2 I [ Ie e ] 2I [I e ] m m
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0, 2 3 ,12 1 2 3 , 表明i1越 4 4 前于 i 3
2
4
3.1.3
有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应 确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量 和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相 等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写 字母表示, 如I、 U等。
u1 U m1 sin(t 1 ) u2 U m 2 sin(t 2 ) 相位差 : 12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间
的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。
下面分别加以讨论：
1 f T
3.相位、角频率和初相
ωt+φ－－－相位角
在不同的瞬间，正弦量有着不同的相位，因而 有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。 角频率－－－相位角变化的速度。 单位：rad/s或1/s。 相位变化2πrad，经历一个周期T，那么
2 π 2πf T
与f成正比
当φ=0时，正弦波的零点就是计时起点
它们的解析式分别为:
(1)T =100ms时，
π π u ab (t ) 300 sin( 2000 πt )mV, iab (t ) 5 sin( 2000 πt )mV 6 3
π π u ab (0.1) 300sin(2000π 0.1 ) 300sin 150mV 6 6 π π iab (0.1) 5 sin(2000π 0.1 ) 5 sin 4.33m 3 3


代入已知量有：
5 I m sin A 2 3 5 5 则有：I m＝ 10 A sin 5 / 6 1 2 Im I 7.07 A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
u/V 250 200 u2 u1
0 3
6
2
t
例 3-1 图3-1-4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。(1) 写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写 出iab的解析式并求出t=100ms时的值。
由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和5mA，频 率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为π/6和π/3，
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。 (2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°) =5sin(314t-150°)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示, 试写出正弦量的解析式。 u 200 sin( t )V 解 1 3 u2 250sin(t )V 6
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦量的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 电容元件和电感元件 3.4 三种元件伏安特性的相量形式
3.5 基尔霍夫定律的相量形式
3.6 RLC串联的交流电路
3.7 RLC并联电路 3.8 用相量法分析正弦交流电路 3.9 正弦交流电路中的功率
3.10 正弦交流电路中的最大功率
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re
(4) 复数的极坐标形式
j
A
例
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。
解 A1的模 r1 4 2 ( 3) 2 5 辐角 arctan 3 36.9 1 4 则A1的极坐标形式为A1=5 -36.9° （在第四象限）
其中
I Ie j wt i Ii
它是一个与时间无关的复常数，它的模即正弦量有效值， 它的辐角即正弦量的初相－－－－正弦量的相量 正弦电压的相量为 U U u


相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加 上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或 代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的 关系，只能用“←→”符号表示相对应的关系
Q I 2 RT Q i R dt
2 0 T
I RT i R dt
2 2 0
T
1 I T 1 U T

T
0
i dt u dt
2
2

T
0
正弦量的有效值
1 I T

T
0
I sin tdt
2 m 2
2 Im T

T
0
1 cos2t dt 2
2 2 T T Im Im ( dt cos2tdt) (T 0) 0 0 2T 2T
率正弦量的相量图时，可选择某
一相量作为参考相量先画出，再根据其它正弦量与参考 正弦量的相位差画出其它相量。参考相量的位置可根据 需要任意选择。
3.旋转因子及旋转相量 相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时 间的推移而旋转，且旋转速度为ω 。我们把相量乘 以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ω t+φ i)为正旋量的瞬时值。 Imsinφ i为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。 所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
i
i4＝Imsin( t－ 6)
0
t
2
0
t
6
0
t
0 6
t
(a)
(b)
(c)
(d)
几种不同计时起点的正弦电流波形
例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为 u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个 正弦量的三要素。 解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
例题 :已知 : u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45) A 求u和i的初相及两者间的相位 关系。
解 : u 220 2 sin(t 235)V 220 2 sin(t 125)V
所以电压u的初相角为 125,电流i的初相角为 45 ui u i 125 45 170 0 表明电压u滞后电流 170。
i (t ) I ...... i (t ) 2 I m [ I t ] u (t ) U ...... u (t ) 2U m [U t ]
相量也可以用振幅值来定义。即



U m U mu

.
2.相量图及参考相量
在复平面上可用一个矢量表示相 量，该矢量称正弦量的相量图(也 简称相量)，其符号与相量相同， 如图3-2-1(a)所示。画几个同频
例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2
i i1 2 0 i i2 3 2 2 i2 i1
t
0
2

3 2
2
t
＝
(a )
(b )
i i1 i2
i
i1
i2

2

3 2 2
t

2

3 2
2
t
3 4
(c)
(d )
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后 于i2 90°。 (b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。