数理统计 区间估计 节非正态总体参数的置信区间

因此取T ˆ 作为枢轴变量. ˆ / n
当n充分大时有
P u /2
ˆ ˆ / n
u
/
2
1
25
P u /2
ˆ ˆ / n
u /2 1
不等式 u /2
ˆ ˆ / n
u
/
等价于
2
ˆ u /2 ˆ / n ˆ u /2 ˆ / n
参数的置信系数近似为1-的置信区间为
X(n) /的密度函数为
ntn1, 0 t 1，
f (t) 0,
其它.
因此取
T
g(X(n), )
X(n)
作为枢轴变量
9
对给定(0 1)，只要取a和b满足
即
1
Pa
X(n)
b
b ntn1dt bn an
a
bn an 1
而a X (n) b等价变形为
X(n) X(n)
2)
4
同理得到的置信系数1-的置信下限为
2 2n
(1-
)
2nX
同理得到的置信系数1-的置信上限为
2 2n
(
)
2nX
5
例4.3.1设某电子产品的寿命服从指数分布Exp(),
现从此分布的一批样本中抽取容量为9的样本， 测得寿命为(单位：千小时)
15 ，45 ，50 ，53 ，60 ，65 ，70 ，83 ，90
将上述两式相乘，按照依分布收敛的性质，有
pˆ p pˆ p p(1 p) L N (0,1) pˆ (1 pˆ ) / n p(1 p) / n pˆ (1 pˆ )
15
即
T pˆ p L N (0,1)
pˆ (1 pˆ ) / n
T的极限分布与p无关，于是取T作为枢轴变量.
当n充分大时有
根据中心极限定理，对于充分大的n, 有
T Sn np X p L N (0,1) np(1 p) p(1 p) / n
当 n
12
当n充分大时,随机变量T Sn np 的极限分布是 np(1 p)
N (0,1)，与未知参数p无关.
于是取T作为枢轴变量.
当n充分大时有
P u /2
Xp p(1 p) /
设总体 X ~ f (x)，且
ex , x 0,
f (x)
其中 0未知
0, x 0.
X1, X2, , Xn 为抽自总体 X 的样本
利用枢轴变量法构造参数的置信系数为1的置信区间
解：X 是1/的无偏估计(且是UMVUE)，由推论2.4.5
G 2(X1 X2 Xn ) 2n X～22n
b
a
考虑区间平均长度最短的要求得到 b 1, a n
因此的置信水平1-的置信区间为
X (n)
,
X (n)
n
10
4.3.2 大样本方法
1.总体比值 p 的置信区间
总体比值是指总体中具有某种特征的 个体所占的比率,记为 p.
例如,总体的次品率就是指总体中次品 所占的比率.
随机变量X表示个体的某种特征指标, 规定当一个体具有某种特征时,则X=1, 否则,X=0. X 服从0-1分布:
X
1 2n
u2 / 2
u / 2
X (1 n
X)
u2 / 2 4n2
14
实用中可采用下列更简单的方法：
由 pˆ Sn / n P p和 T Sn np X p L N (0,1) np(1 p) p(1 p) / n
得到
p(1 p) P1 pˆ (1 pˆ )
pˆ p L N (0,1) p(1 p) / n
n
u / 2
1
13
P u /2
Xp p(1 p)
/
n
u / 2
1
不等式 u /2
Xp p(1 p) / n
u
/
等价于
2
(n u2 / 2 ) p2 (2nX u2 / 2 ) p nX 2 0
p的置信水平1-α的近似置信区间为
[ pˆ1,
pˆ2 ]
n
n u2 / 2
[ˆ1, ˆ2 ] ˆ u /2
ˆ / n, ˆ u /2
ˆ
/
n
其中ˆ Sn .
n
26
作业： 158页 4.26,4.27
27
21
2 Poisson分布参数的置信区间
设X1, X 2, , X n是抽自总体X的样本，且
X～P(),其中 0未知
求参数的1-置信区间 n
解：令Sn Xi ,可知Sn ~ P(n),即
i 1
P(Sn
k)
en (n)k
k!
,k
0,1, 2,
当n充分大时，由中心极限定理可知
Sn n L N (0,1) n
当 n
22
当n充分大时,随机变量T Sn n 的极限分布是 n
N (0,1)，与未知参数无关.
于是取T作为枢轴变量.
当n充分大时有
P u /2
Sn
nBaidu Nhomakorabean
u
/
2
1
当 n
23
P u /2
Sn
n n
u
/
2
1
解不等式
u / 2
Sn
n n
u / 2
n2 2 (2nSn nu2 / 2 ) p Sn2 0
2nX
2 2n
(
/
2)
,
2 2n
2nX
(1-
/
2)
2nX
2 18
(0.05)
,
2nX
2 18
(0.95)
[36.787,113.099]
7
2 18
(0.10)=25.989，128
(0.90)=10.865
则g( )=1/的置信系数90%的置信上限gˆU 和下限gˆ L为
gˆU
2nX
其中a
2 2n
(1
/
2)
b
2 2n
(
/
2)
3
这样找到的a和b虽不能使置信区间的精度最高，
但是表达式简单，可通过 2分布的上分位数表
求得，应用上很方便.因此有
P(22n (1-
/
2)
2n X
2 2n
(
/
2))
1
利用不等式等价变形得的置信系数1-的置信区间
2 2n
(1-
2nX
/
2)
,
2 2n
(
/
2nX
2 2n
(1-
)
2nX
2 18
(0.90)
97.745千小时
gˆ L
2nX
2 2n
(
)
2nX
2 18
(0.10)
40.863千小时
8
2 均匀分布参数的置信区间
设X ~ U (0, ), 0, X1, X 2 ,
，X
为抽自
n
总体X的样本，利用枢轴变量法构造参数
的置信系数为1-的置信区间.
解：X(n)是的极大似然估计又是充分统计量，
因此，取G 2n X作为枢轴变量
2
对给定(0 1)，只要取a和b满足
P(a 2nX b) 1
满足上式的a和b有无穷对，其中有一对a和b 使得区间长度最短.但是这样一对a和b不易求 得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列
方法，一般令a和b满足
P 2n X a / 2 P2n X b / 2
求平均寿命1/的置信系数90%的置信区间和
置信上限、置信下限
6
解：n 9,由样本算得X 59, 2nX 1062,查表得
2 18
(0.05)=28.869，128
(0.95)=9.390
2 18
(0.10)=25.989，128
(0.90)=10.865
则g()=1/的置信系数90%的置信区间为
4.3 枢轴变量法—非正态总体参数的置信区间
若枢轴变量的精确分布易求，可用小样 本方法获得精确的置信区间. 若枢轴变量的精确分布不易求，或若其 精确分布虽可以求，但是表达式复杂使 用不方便，则可用枢轴变量的极限分布 来构造有关参数近似的置信区间.
1
4.3.1 小样本方法
1 指数分布 参数的置信区间
p的置信水平1-α的近似置信区间为
[ pˆ1, pˆ2 ] pˆ u /2 pˆ (1 pˆ ) / n, pˆ u /2 pˆ (1 pˆ ) / n
17
例 某地区随机调查了七岁以下的儿 童2452名,发现患有肥胖病的56名, 试以98%的置信度给出该地区全部七岁 以下儿童的肥胖发病率的区间估计?
20
例 在某电视节目收视率的调查中，随机 抽取了500户家庭，其中有200户家庭收看 该电视节目. 试求收视率 p的95％置信区间. 解：收视率 p是两点分布的参数
n 500, pˆ X 200 / 500 0.4
/ 2 0.025, u0.025 1.96
p的95%近似置信区间为 [0.36,0.44]
P u /2
pˆ pˆ (1
p pˆ ) /
n
u
/
2
1
16
P u /2
pˆ pˆ (1
p pˆ ) / n
u
/
2
1
不等式 u /2
pˆ pˆ (1
p pˆ ) / n
u
/
等价于
2
pˆ u /2 pˆ (1 pˆ ) / n p pˆ u /2 pˆ(1 pˆ) / n
信区间? 解: n 100, pˆ X 0.6
/ 2 0.025, u0.025 1.96 p的近似95%置信区间为 [0.6-1.96 0.049,0.6+1.96 0.049] 即 [0.504,0.696].
因此,在这批产品中以95%的可靠度
估计一级品率在50.4%至69.6%之间.
18
解: n 2452, pˆ X 56 / 2452 0.023
/ 2 0.01, u0.01 2.33
p的98%近似置信区间为 [0.023-2.33 0.003,0.023+2.330.003] 即 [0.016,0.03]
19
例 设自一大批产品的100件样品中,得一
级品60件,求这批产品的一级品率的95%置
P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
并且 EX=p, DX=p(1-p)
11
1 两点分布参数的置信区间
设X1, X 2, , X n是抽自总体X的样本，且 X～b(1, p), 0 p 1，即
P{X x} px (1 p)1x , x 0,1
求参数p的1-置信区间 n
解：令Sn Xi ,可知Sn ~ b(n, p) i 1
参数的置信系数近似为1-的置信区间为
[ˆ1, ˆ2 ]
Sn
n
u2 / 2 2n
u / 2
u2 / 2 4n2
Sn n2
,
Sn n
u2 / 2 2n
u / 2
u2 / 2 4n2
Sn n2
24
实用中可采用下列更简单的方法：
ˆ L N (0,1) ˆ / n
由于T ˆ 的极限分布为N (0,1)，与未知参数无关. ˆ / n