化工过程模拟与分析(第六章联立方程法)
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注 1. 建立方程组后，必须检查方程数和变量数是否相等； 2. 平衡常数的计算可独立在方程组之外； 3. 各流股组成变量可能在求解过程中失去物理意义； 4. 显然流股连结方程并不包含在联立方程组中； 5. 方程组的雅可比矩阵显然稀疏； 6. 显然141个初值确定比较困难。
6.2 过程系统数学模型的求解
使出现在矩阵对角线上的元素为非0元素，然后选取矩 阵上三角部分中含有非0元素的列所对应的变量，即切 割变量。
有时不分块，直接切割再求解更为方便。
6.5 稀疏矩阵处理技术
高稀疏矩阵的压缩存储 原理：实数型数组存储稀疏矩阵中的所有非0元素， 一个或多个整形数组记录非元素的位置。 方法：随机填充存储法、系统填充存储法
联
P1
闪蒸器1温度未知 气相分率须满足设计值
立
闪
方
蒸
S1
程 法 示 例
器 1
R1
闪
蒸
F
混合器1
Z1
器
闪蒸器2，3，4 温度压力已知
2
R2
S2
混合器2 R3
13个组分 进料温度、压力
和组成已知
闪
蒸
Z2
器
闪
wk.baidu.com
3
蒸
S3
器
4
P2
模拟步骤
1、根据需要，列出系统所包含单元种类，根据已知条件 建立各单元模型的方程组；
i 1,2,..1.,2
器 2
13
13
S1ci 1, S 2ci 1
i 1
i 1
S1ci Ki S1c , S2c , p2 ,T2 S 2ci
S2
i 1,2,..1.,3
28个方程
闪蒸器3
R2
闪
FR2 FS3 FZ 2
Z2
蒸
S3ci FS3 R2ci FR2 Z 2ci FZ 2
混合器单元模型方程组
13
FOUT Fin, j j1 13
XOU,jT (Xin,j.Fin,j)/FOUT j1
假设： 只需计算各流股组成
闪蒸器单元模型的基本方程组
LVF
xiLyiVziF (i1,2, ,c)
y i k ix i ( i 1 ,2 , ,c )
13
13
xi1, yi1
四、方程组的降阶 1. 建立独立的物性估算模块 2. 取消连接流方程 3. 方程组的分隔和切断
五、稀疏矩阵的处理 1. 压缩存储 2. 稀疏线性方程组的消去法
6.3 大型稀疏非线性方程组的分解
概述 对象：数学模型的结构，而不是过程系统的拓扑结构。 分隔：确定必须联立求解的不可再分子方程块。 切断：切断的对象是不可再分子方程块中的变量。
第六章 联立方程法
主要内容 1. 过程系统数学模型及其特点 2. 过程系统非线性方程组及其求解的一些处理 3. 大型稀疏非线性方程组的分解 4. 联立方程法的潜在优势
6.1 过程系统数学模型及其特点
一、组成 物性估算方程 单元模型方程 连接流方程 设计规定方程
二、特点 高维大型非线性方程 方程组的复杂性 （线性、非线性、常微分、偏微分） 方程组的高稀疏性 变量初值给定的困难性
一、微分方程的处理 1. 将微分方程分隔出来数值积分 2. 将微分方程改写成差分方程 3. 直接从严格微分模型开发近似代数模型
二、初值的选取 1. 利用严格模型生成简化模型，并用序贯模块法计算 2. 通过求解线性化产生近似线性方程组并求解得到 3. 按照序贯模块法迭代数次后得到初始解
三、求解中变量取值的限制
混合器1
F Z1F FF R 1F R 2
R1
F
混合器1
Z1
R2
Z 1 c i F 1 Z 1F R 1 R 1 c iF F F c iF R 2R 2 c,i i 1 ,2 ,.1 ..3 ,
14个方程
闪蒸器1
P1
FP1 FR1 FS1
闪
蒸
S1
器
P1ci FP1 R1ci FR1 S1ci FS1
1
0
0
1
0
1 0 1 0 1
到f
0 0 1 1 1
从
0
0
0
0
1
f 0 1 0 0 0
1
1
1
0
0
0 1 0 0 0
联立方程的分解步骤 1. 选取输出变量集； 2. 构造方程组邻接矩阵； 3. 利用回路搜索法等方法对方程组分块。
联立方程的切割原理 写出方程组的关联矩阵，调换该矩阵行和列的顺序，
i1
i1
k i K i P F , T F , x , y ( i 1 , 2 , , c )
2、建立联立方程中各单元形成的子方程组
各流股由一个13维向量描述，例如对于进料流股F：
第1个组分摩 尔组成
流股摩尔流量
Z 1 Z 1 c 1Z 1 c 2.. Z 1 c . 13 F Z 1
器 4
13
13
R3ci 1, P2ci 1
i 1
i 1
R3ci Ki R3c , P2c , p4 ,T4 P2ci
P2
i 1,2,..1.,3
28个方程
混合器2
FZ2FS2FR3
S2
混合器2
R3
Z2
Z 2 ciF 1 Z 1F S2S2 c i F R 3R 3 ci, i 1 ,2 ,.1 ..3 ,
13
13
P1ci 1, R1ci 1
i 1
i 1
P1ci Ki R1c , P1c , p1,T1 R1ci 设计规定方程
i1,2,..1.,2 1
R1
i 1,2,..1.,3
FP1 FS1
spec
29个方程
闪蒸器2
S1
闪
FS1 FS1 FZ1
Z1
蒸
S1ci FS1 S 2ci FS 2 Z1ci FZ1
i 1,2,..1.,2
器 3
13
13
S3ci 1, R2ci 1
S3
i 1
i 1
R2ci Ki S3c , R2c , p3,T3 S3ci i 1,2,..1.,3
28个方程
闪蒸器4
R3
闪
FR3 FP2 FS3
S3
蒸
R3ci FR3 P2ci FP2
S3ci FS3
i 1,2,..1.,2
方程组与其关联矩阵和邻接矩阵
x
f1x1, x4 0
f2x2, x3, x4, f3 x1, x2 , x4
x5
0
0
f4 x1,
x4
0
f 5 x1 , x 3 , x 5 0
邻接矩阵 在选出输出变量 集之后才可得到
关联矩阵 邻接矩阵
1 0 0 1 0
0
1
1
1
1
f 1 1 0 1 0
14个方程
已知22个变量： F ,p 1 ,p 2 ,T 2 ,p 3 ,T 3 ,p 4 ,T 4 ,
未知141个变量：T 1 ,P P 1 S 2 S ,1 S ,2 R ,3 R , 1 ,R ,2 Z ,3 Z ,1
方程数：141个
3、联立各单元形成的子方程组，分析特点并确定初值 和选择解法
6.2 过程系统数学模型的求解
使出现在矩阵对角线上的元素为非0元素，然后选取矩 阵上三角部分中含有非0元素的列所对应的变量，即切 割变量。
有时不分块，直接切割再求解更为方便。
6.5 稀疏矩阵处理技术
高稀疏矩阵的压缩存储 原理：实数型数组存储稀疏矩阵中的所有非0元素， 一个或多个整形数组记录非元素的位置。 方法：随机填充存储法、系统填充存储法
联
P1
闪蒸器1温度未知 气相分率须满足设计值
立
闪
方
蒸
S1
程 法 示 例
器 1
R1
闪
蒸
F
混合器1
Z1
器
闪蒸器2，3，4 温度压力已知
2
R2
S2
混合器2 R3
13个组分 进料温度、压力
和组成已知
闪
蒸
Z2
器
闪
wk.baidu.com
3
蒸
S3
器
4
P2
模拟步骤
1、根据需要，列出系统所包含单元种类，根据已知条件 建立各单元模型的方程组；
i 1,2,..1.,2
器 2
13
13
S1ci 1, S 2ci 1
i 1
i 1
S1ci Ki S1c , S2c , p2 ,T2 S 2ci
S2
i 1,2,..1.,3
28个方程
闪蒸器3
R2
闪
FR2 FS3 FZ 2
Z2
蒸
S3ci FS3 R2ci FR2 Z 2ci FZ 2
混合器单元模型方程组
13
FOUT Fin, j j1 13
XOU,jT (Xin,j.Fin,j)/FOUT j1
假设： 只需计算各流股组成
闪蒸器单元模型的基本方程组
LVF
xiLyiVziF (i1,2, ,c)
y i k ix i ( i 1 ,2 , ,c )
13
13
xi1, yi1
四、方程组的降阶 1. 建立独立的物性估算模块 2. 取消连接流方程 3. 方程组的分隔和切断
五、稀疏矩阵的处理 1. 压缩存储 2. 稀疏线性方程组的消去法
6.3 大型稀疏非线性方程组的分解
概述 对象：数学模型的结构，而不是过程系统的拓扑结构。 分隔：确定必须联立求解的不可再分子方程块。 切断：切断的对象是不可再分子方程块中的变量。
第六章 联立方程法
主要内容 1. 过程系统数学模型及其特点 2. 过程系统非线性方程组及其求解的一些处理 3. 大型稀疏非线性方程组的分解 4. 联立方程法的潜在优势
6.1 过程系统数学模型及其特点
一、组成 物性估算方程 单元模型方程 连接流方程 设计规定方程
二、特点 高维大型非线性方程 方程组的复杂性 （线性、非线性、常微分、偏微分） 方程组的高稀疏性 变量初值给定的困难性
一、微分方程的处理 1. 将微分方程分隔出来数值积分 2. 将微分方程改写成差分方程 3. 直接从严格微分模型开发近似代数模型
二、初值的选取 1. 利用严格模型生成简化模型，并用序贯模块法计算 2. 通过求解线性化产生近似线性方程组并求解得到 3. 按照序贯模块法迭代数次后得到初始解
三、求解中变量取值的限制
混合器1
F Z1F FF R 1F R 2
R1
F
混合器1
Z1
R2
Z 1 c i F 1 Z 1F R 1 R 1 c iF F F c iF R 2R 2 c,i i 1 ,2 ,.1 ..3 ,
14个方程
闪蒸器1
P1
FP1 FR1 FS1
闪
蒸
S1
器
P1ci FP1 R1ci FR1 S1ci FS1
1
0
0
1
0
1 0 1 0 1
到f
0 0 1 1 1
从
0
0
0
0
1
f 0 1 0 0 0
1
1
1
0
0
0 1 0 0 0
联立方程的分解步骤 1. 选取输出变量集； 2. 构造方程组邻接矩阵； 3. 利用回路搜索法等方法对方程组分块。
联立方程的切割原理 写出方程组的关联矩阵，调换该矩阵行和列的顺序，
i1
i1
k i K i P F , T F , x , y ( i 1 , 2 , , c )
2、建立联立方程中各单元形成的子方程组
各流股由一个13维向量描述，例如对于进料流股F：
第1个组分摩 尔组成
流股摩尔流量
Z 1 Z 1 c 1Z 1 c 2.. Z 1 c . 13 F Z 1
器 4
13
13
R3ci 1, P2ci 1
i 1
i 1
R3ci Ki R3c , P2c , p4 ,T4 P2ci
P2
i 1,2,..1.,3
28个方程
混合器2
FZ2FS2FR3
S2
混合器2
R3
Z2
Z 2 ciF 1 Z 1F S2S2 c i F R 3R 3 ci, i 1 ,2 ,.1 ..3 ,
13
13
P1ci 1, R1ci 1
i 1
i 1
P1ci Ki R1c , P1c , p1,T1 R1ci 设计规定方程
i1,2,..1.,2 1
R1
i 1,2,..1.,3
FP1 FS1
spec
29个方程
闪蒸器2
S1
闪
FS1 FS1 FZ1
Z1
蒸
S1ci FS1 S 2ci FS 2 Z1ci FZ1
i 1,2,..1.,2
器 3
13
13
S3ci 1, R2ci 1
S3
i 1
i 1
R2ci Ki S3c , R2c , p3,T3 S3ci i 1,2,..1.,3
28个方程
闪蒸器4
R3
闪
FR3 FP2 FS3
S3
蒸
R3ci FR3 P2ci FP2
S3ci FS3
i 1,2,..1.,2
方程组与其关联矩阵和邻接矩阵
x
f1x1, x4 0
f2x2, x3, x4, f3 x1, x2 , x4
x5
0
0
f4 x1,
x4
0
f 5 x1 , x 3 , x 5 0
邻接矩阵 在选出输出变量 集之后才可得到
关联矩阵 邻接矩阵
1 0 0 1 0
0
1
1
1
1
f 1 1 0 1 0
14个方程
已知22个变量： F ,p 1 ,p 2 ,T 2 ,p 3 ,T 3 ,p 4 ,T 4 ,
未知141个变量：T 1 ,P P 1 S 2 S ,1 S ,2 R ,3 R , 1 ,R ,2 Z ,3 Z ,1
方程数：141个
3、联立各单元形成的子方程组，分析特点并确定初值 和选择解法