卡尔曼滤波简介及仿真程序

if isempty(ndx) [x(:,t), V(:,:,t), LL, VV(:,:,t)] = ... kalman_update(A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx, prevV, ... 'initial', initial, 'u', u(:,t), 'B', B(:,:,m)); else i = ndx; % copy over all elements; only some will get updated x(:,t) = prevx; prevP = inv(prevV); prevPsmall = prevP(i,i); prevVsmall = inv(prevPsmall); [x(i,t), smallV, LL, VV(i,i,t)] = ... kalman_update(A(i,i,m), C(:,i,m), Q(i,i,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx(i), prevVsmall, ... 'initial', initial, 'u', u(:,t), 'B', B(i,:,m)); smallP = inv(smallV); prevP(i,i) = smallP; V(:,:,t) = inv(prevP); end end loglik = loglik + LL; end
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状态估计
状态估计
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对 随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计， 它能实现实时运行状态的估计和预测功能。比如对飞行器状态估计。 状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于 统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计 、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶斯估 计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。
% % INPUTS: % y(:,t) - the observation at time t % A - the system matrix % C - the observation matrix % Q - the system covariance % R - the observation covariance % init_x - the initial state (column) vector % init_V - the initial state covariance % % OPTIONAL INPUTS (string/value pairs [default in brackets]) % 'model' - model(t)=m means use params from model m at time t [ones(1,T) ] % In this case, all the above matrices take an additional final dimension, % i.e., A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m). % However, init_x and init_V are independent of model(1). % 'u' - u(:,t) the control signal at time t [ [] ] % 'B' - B(:,:,m) the input regression matrix for model m % % OUTPUTS (where X is the hidden state being estimated) % x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t)] % V(:,:,t) = Cov[X(:,t) | y(:,1:t)] % VV(:,:,t) = Cov[X(:,t), X(:,t-1) | y(:,1:t)] t >= 2 % loglik = sum{t=1}^T log P(y(:,t)) % % If an input signal is specified, we also condition on it: % e.g., x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t)] % If a model sequence is specified, we also condition on it: % e.g., x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t), m(1:t)] [os T] = size(y); ss = size(A,1); % size of state space % set default params model = ones(1,T); u = [];
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形式
卡尔曼滤波已经有很多不同的实现，卡尔曼最初提出的形式一般称为 简单卡尔曼滤波器。除此以外，还有施密特扩展滤波器、信息滤波器 以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种。最常见的 卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机、计算机和几乎任何视频或通讯 设备中广泛存在。
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实例
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪 声的观察序列中预测出物体的坐标位置及速度。在很多工程应用(雷达 、计算机视觉)中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理 论以及控制系统工程中的一个重要话题。
状态量
受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行 一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使 估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值 之差称为估计误差。若估计值的数学期望与真实值相等，这种估计称 为无偏估计。卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法 ，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程 。
பைடு நூலகம்
理论
卡尔曼滤波理论的提出，克服了威纳滤波理论的局限性使其在工程上 得到了广泛的应用，尤其在控制、制导、导航、通讯等现代工程方面 。
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MATLAB程序
MATLAB N=200; w(1)=0; w=randn(1,N) x(1)=0; a=1; for k=2:N; x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); end V=randn(1,N); q1=std(V); Rvv=q1.^2; q2=std(x); Rxx=q2.^2; q3=std(w); Rww=q3.^2; c=0.2; Y=c*x+V; p(1)=0; s(1)=0; for t=2:N; p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww; b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv); s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1)); p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t); end t=1:N; plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b'); function [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, varargin) % Kalman filter. % [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, ...)
背景
斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。卡尔曼 在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨 道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。关于这 种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
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应用
比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、 加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动 态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这 个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置 的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。 扩展卡尔曼滤波（EKF） EXTEND KALMAN FILTER 扩展卡尔曼滤波器 是由kalman filter考虑时间非线性的动态系统，常应用于目标跟踪系 统。
B = []; ndx = []; args = varargin; nargs = length(args); for i=1:2:nargs switch args case 'model', model = args{i+1}; case 'u', u = args{i+1}; case 'B', B = args{i+1}; case 'ndx', ndx = args{i+1}; otherwise, error(['unrecognized argument ' args]) end end x = zeros(ss, T); V = zeros(ss, ss, T); VV = zeros(ss, ss, T); loglik = 0; for t=1:T m = model(t); if t==1 %prevx = init_x(:,m); %prevV = init_V(:,:,m); prevx = init_x; prevV = init_V; initial = 1; else prevx = x(:,t-1); prevV = V(:,:,t-1); initial = 0; end if isempty(u) [x(:,t), V(:,:,t), LL, VV(:,:,t)] = ... kalman_update(A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx, prevV, 'initial', initial); else
卡尔曼滤波
斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。卡尔曼 在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的 轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。 关 于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
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通俗解释
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data
processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决 很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应 用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军 事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处 理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 卡尔曼滤波器的介绍 ： 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法 来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符 号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔 曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索 。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个 房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温 度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100% 的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声 （White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系 的而且符合高斯分布（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间 里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏 差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据 经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们 要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值 ，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时 刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪 声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的 偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就 是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度， 同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度 。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁 多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为 Kg=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.61，我们可以估算出k时刻的实际温度 值是：23+0.61*(25-23)=24.22度。可以看出，因为温度计的