自控作业解答..

2-1试建立如图 所示电路的动态微分方程。

输入u i 输出u o

u 1=u i -u o

i 2=C du 1 dt )

- R 2(u i -u o )=R 1u 0-CR 1R 2( du i dt dt du o

C ＋ - i o R 1

R 2 i 1 i i 2

u 1

i 1=i-i 2 u o i= R 2

u 1 i 1= R 1 = u i -u o R 1 dt d (u i -u o ) =C C d (u i -u o ) dt

u o - R 2 = u i -u o R 1 CR 1R 2 du o dt du i

dt +R 1u o +R 2u 0=CR 1R 2 +R 2u i

(a)

i=i 1+i 2 i 2=C du 1

dt u o i 1= R 2 u 1-u o = L R 2 du o dt R

1

i= (u i -u 1) (b)

C

＋

-

i

u o R 1

R 2

i 1 i

i 2

L

u 1 = R 1 u i -u 1 u o +C R 2 du 1 dt

u 1=u o + L R 2 du o

dt du o dt R 1R 2 L du o dt + CL R 2

d 2u o dt 2 = - - u i R 1 u o R 1 u o R 2 +C )u o R 1R 2 L du o dt ) CL R 2 d 2

u o dt 2 = + +( u i R 1 1 R 1

1 R 2

+(C+ 解：

2-2 求下列函数的拉氏变换。 (1) f(t)=sin4t+cos4t

L [sin ωt ]= ωω2+s 2=s s+42+16L [sin4t+cos4t ]= 4s 2+16s s 2+16+s ω2+s 2L [cos ωt ]=解：(2) f(t)=t 3+e 4t 解：

L [t 3+e 4t ]= 3!s 41s-4

+ 6s+24+s 4

s 4(s+4)=

(3) f(t)=t n e at

L [t n e at ]=n!(s-a)n+1(4) f(t)=(t-1)2e 2t

L [(t-1)2e 2t ]=e -(s-2)2(s-2)3

解：解：

2-3求下列函数的拉氏反变换。

A 1=(s+2)s+1(s+2)(s+3)s=-2=-1

=2f(t)=2e -3t -e -2t

s+1(1) F(s)=(s+2)(s+3)

解：A 2=(s+3)s+1(s+2)(s+3)s=-3F(s)= 2s+31s+2

-

(3) F(s)=2s 2-5s+1s(s 2+1)F(s)(s 2+1)s=+j =A 1s+A 2s=+j

A 2=-5

A 3=F(s)s s=0解：

= s +

A 3

s 2+1A 1s+A 2=1

2s s 2-5s+1=A 1s+A

2 s=j s=j

-5j-1=-A 1+jA 2 A 1=1

F(s)= 1s s 2+1s -5s 2+1

++

t t t f sin 5cos 1)(-+=

2-4 解下列微分方程 6)(6)

(5)(2

2=++t y dt t dy dt

t y d 初始条件：2)0()0(==y y A 1=1y(t)=1+5e -2t -4e -3t

A 2=5 A 3=-4

Y(s)=6+2s 2+12s s(s 2+5s+6)解：s 2Y(s)-sy(0)-y'(0)+5sY(s)-5y(0)+6Y(s)= 6s

s 2Y (s )-2s-2+5sY (s )-10+6Y (s )= 6s

= A 1s+2s+3

+ A 3s + A 2

2-8设有一个初始条件为零的系统，当其输入端作用一个脉冲函数δ(t)时，它的输出响应c(t)如图所示。试求系统的传递函数。

c(t)

t

δ解:

K t-T c(t)=T (t-T)K C(s)=K (1-e )Ts 2

-TS C(s)=G(s)

2-9 若某系统在阶跃输入作用r(t)=1(t)时，系统在零初始条件下的输出响应为：

t t e e t c --+-=21)(，试求系统的传递函数。

解:

G(s)=C(s)/R(s)=(s+1)(s+2)

(s 2+4s+2)C(s)=(s+1)(s+2)(s 2+4s+2)脉冲响应:2s +2=1+1s +1-c(t)=δ(t)+2e -2t -e -t

2-10 已知系统的微分方程组的拉氏变换式，试画出系统的动态结构图并求传递函数

)

()

(s R s C 。

解:X 1(s)=R(s)G 1(s)-G 1(s)[G 7(s)-G 8(s)]C(s)

X 2(s)=G 2(s)[X 1(s)-G 6(s)X 3(s)]X

(s)=G (s)[X (s)-C(s)G (s)]

={R(s)-C(s)[G 7(s)-G 8(s)]}G 1(s)

2-11 已知控制系统结构图如图所示，试分别用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数

)

()

(s R s C 。 解：(a)

解:(b)求系统的

传递函数

R (s )C (s )=1+G 1G 2H +G 1G 4H G 1G 2+G 2G 3+G 1G 2G 3G 4 H L 1=-G 1G L 2=-G 1G 4H P 1=G 1G 2

Δ1 =1

P 2=G 3G 2Δ=1+G 1G 4H+G 1G 2H Δ2=1+G 1G 4H

(c)

G R(s)C(s)1+G 1G 2+G 1H 1–G 3H 1

1G 2(1–G 3H 1)

=22

2 C(s)1+G 2H

1(G 1+G 2 )R(s)=