解析几何大题答案

解析几何大题答案

1、椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=3

4

,,|

P F 2|=

3

14. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522

1

2221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,

从而b 2=a 2

－c 2=4,

所以椭圆C 的方程为4

92

2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心

M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.

因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得9

8

=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9

8

++=

x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且

,1492

121=+y

x

①

,14

92

22

2=+y

x

②

由①－②得

.04

)

)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x

③

因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得

2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9

8

，

所以直线l 的方程为y －1＝

9

8

（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

2、已知椭圆12

22

=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。 解：（I ）

222,1,1,(1,0),:

a b c F l ==∴=- 圆过点O 、F ，

∴圆心M 在直线1

2

x =-

上。

设1

(,),2

M t -

则圆半径

13()(2).22

r =---=

由,OM r =3

,2

=

解得t = ∴所求圆的方程为2219

()(.24

x y ++±=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠

代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y

则2

122

4,21

k x x k +=-+

AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001

().y y x x k

-=--

令0,y =得

222002222211

.

2121212421

0,0,

2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<

∴点G 横坐标的取值范围为1

(,0).2

-

3、设,A B 分别为椭圆22

221(,0)x y a b a b

+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且

4x =为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c

a 2

＝4，解

得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3.

故椭圆的方程为 13

42

2=+y x . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），

B （2，0）.设M （x 0，y 0）.

∵M 点在椭圆上，∴y 0＝

4

3

（4－x 02）. ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2

2

600

+x y ）.

从而＝（x 0－2，y 0），＝（2，

2

600

+x y ）.

∴BM ·＝2x 0－4＋2602

0+x y ＝22

+x （x 02－4＋3y 02）. ○2

将○1代入○2，化简得BM ·BP ＝

2

5

（2－x 0）. ∵2－x 0>0，∴BM ·>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），