计算方法第六章print

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6.1 引言
已知其精确解为: x* (1 ,1 ,1 )T 。现将方程组改写成如下的 1 1 7 等价形式: x x x
2 3 1 9 9 9 1 1 8 x1 x3 x2 10 10 10 1 1 13 x 3 1 5 x1 1 5 x 2 1 5
第六章 解线性方程组的迭代法
6.1 引言 6.2 基本迭代法
6.3 迭代法的收敛性
6.4 分块迭代法
6.1 引言
本章介绍求解线性方程组 Ax b 的迭代求解方 n n 法,其中 AR ,x, b Rn 。假设 A 非奇 * * * *T ( xx , , , x ) 异,则方程组有唯一解 x 。 1 2 n 本章介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,超松弛迭代法等常用迭代法。 迭代法的例 9 x1 x 2 x 3 7 例:用迭代法求解线性方程组: x1 10 x 2 x 3 8
(0 ) T 给定初始向量: ,则可得: x ( 0 ,0 ,0 )
k x1 x2 x3
1 0.778 0.800 0.867
2 0.963 0.964 0.972
Leabharlann Baidu
3 0.993 0.993 0.995
4 0.999 0.999 0.999
( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) 2 当 k 4 时,有: x ,得近似解: x x 1 0 ( 4 ) T ,由此可以看出由迭代法产生 x ( 0 . 9 9 9 , 0 . 9 9 9 , 0 . 9 9 9 ) 的向量序列 x ( k ) 逐步逼近方程组的精确解 x * 。
x x 15 x 13 3 1 2
记为: Ax b,其中:
1 1 9 x 7 1 A 1 1 0 1 , x x , b 2 8 x 1 1 5 1 3 1 3
6.1 引言
( k 1 ) ( k 1 ) * 为讨论收敛性,引进误差向量 ,从而可 x x k 1 ) ( k ) * ( k ) 得: ( ,递推得到: B ( x x ) B (0 k , 1 , 2 , )

B B
( k ) ( k 1 )
或写为 x B ,其中: 0x f
0 1 B0 10 1 15 1 9 0 1 15
1 9 1 , 10 0
7 9 8 f 10 13 15
6.1 引言
为迭代法的迭代矩阵,选取 M 阵,就得到解 Ax b 的各 种迭代法。
6.2 基本迭代法
0 ( i 1 , 2 , , n ) 设a ,并将 A 写为三部分: i i
a 1 1 a 2 2 A 0 a 0 2 1 a a a n n n 1 n 2 0 a 1 2 0 0 a 1 n a 2 n 0
可见不收敛。 因此,我们得到:对于任何一个方程组 x B x f, 由迭代法产生的向量序列 x ( k ) 不一定收敛。 x f 有唯一解 为做进一步研究,我们假设方程组 x B x * ,则 x* Bx* f , 又设 x ( 0 ) 为任意初始向量,按下 (1 k ) ( k ) 列公式构造向量序列:x B x fk , 0 , 1 , 2 , 其中 k 表示迭代次数,我们给出如下的定义: (k ) lim x 定义1:上述求解方法称为迭代法,如果 k 存 在,则称迭代法收敛,否则称为迭代法发散。
( k 1) 1 ( k ) 1 ( k ) 7 x2 x3 x1 9 9 9 ( k 1) 1 ( k ) 1 ( k ) 8 由此建立迭代格式(公式): x 2 1 0 x 1 1 0 x 3 1 0 ( k 1) 1 ( k ) 1 ( k ) 1 3 x1 x2 x3 15 15 15
6.1 引言
x1 2 x 2 5 例2:考虑方程组: ,取初值 x(0) (0,0)T , x 2 3 x1 5 ( 1 ) T ( 2 ) T ( 3 ) T ( 4 ) T 则有: x ( 5 , 5 ) , x ( 1 5 , 2 0 ) , x ( 4 5 , 5 0 ) , x ( 1 0 5 , 1 4 0 ) ,
1 1 x M N x M b
这样,可构造迭代法:
( 0 ) 取 x 为 初 始 向 量 (k 1 ) ( k ) x B x f ( k 0 , 1 , ) 1 1 1 1 1 其中: 称B I MA B M N M ( M A ) I M A , f M b ,

k ( 0 )
要研究 { x ( k ) } 的收敛性,就要研究 B 在满足什么条 k ( k ) 0 ,实际就是 B 件时有 lim 0( k ) k
6.2 基本迭代法
n n 设有方程组 Ax b ,其中 A(a 为非奇异矩阵 ) R ij 下面研究如何建立解方程组 Ax b 的各种迭代法。 将 A 分裂为 A ,其中M 为可选择的非奇异矩 M N 阵,且使 Mx d 容易求解,一般选择为 A 的某种近似 称 M 为分裂矩阵。 于是,求解 Ax b 转化为求解 M x N x b,即求解:
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