《经济数学微积分》积分定积分

cos xdx d(sin x)
1 dx d(ln | x |); x a xdx 1 d(a x )
ln a sin xdx d(cos x)
sec2 xdx d(tan x)
csc2 xdx d(cot x)
1 dx d(arcsin x) d(arccos x)
1 x2
1 1 x2 dx d(arctan x) d(arc cot x)
x x
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dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln sec x tan x C
例12 求
1
x2 8x 25 dx.
sin4 x cos2 xdx
1
cos 2
2
x
2
1
cos 2
2
x
dx
1 (1 cos 2x cos2 2x cos3 2x)dx
例2 求 cos xdx.
解: (sin x) cos x
cos xdx sin x C
例3
求
1dx. x
解： ∵当x>0时， (ln x) 1
x
当x<0时，[ln( x)] 1
x
即
ln x 1
x
1dx x
ln
x
C
例4 求在平面上经过点（0,1）, 且在任 一点处的斜率为其横坐标的三倍的曲线 方程．
解:由 y 5
1 x
得
y (5
1 )dx 5x 2 x
x C
由x=0时，y=10000，得C=10000
y 5x 2 x 10000( x 0)
二、不定积分的性质
设f(x)的一个原函数是F(x)
(1)[ f ( x)dx] f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx (2) F ( x)dx F ( x) C 或 dF ( x) F ( x) C (3) kf ( x)dx k f ( x)dx
解： 5xexdx
x
(5e) dx
(5e) x
(5e) x
C
C
ln(5e)
ln 5 1
例9 求 tan2 xdx.
解： tan2 x sec2 x 1
tan2dx (sec2 x 1)dx
tan x x C
例10
求
1
1 cos
2
x
dx.
解：
1
1 cos
2
x
dx
1
1 2 cos 2
1 sin
x
dx
2 sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1
cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
tan
x 2
2
ln tan x C lncsc x cot x C.
2
csc xdx ln csc x cot x C
解（2）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C
其中φ(x)具有连续导数.
说明 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 f [ ( x)]d ( x)
第一类换元积分法又称为凑微分法.
例1 求
ekxdx.
解： 原式 1 ekxd(kx)
k
令ukx
1
eu
C
1
ekx
C
(2) xdx x1 C; 1
(3)
dx x
ln
x
C;
(4) cos xdx sin x C; sin xdx cos x C; (5) a xdx a x C;
ln a
(6) exdx ex C;
(7)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(8)
dx sin2 x
积 分 变
原 函 数
任 意 常 数
式量
不定积分的几何意义:
函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的 积分曲线.F(x)+C的图形称为f(x)的积分曲线 簇,在同一坐标系中，横坐标x=x0处的任一 积分曲线的切线有相同的斜率.
y
o
x0
x
例1 求 x2dx.
解：
x3 3
x2
x2dx x3 C 3
经济数学——微积分
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、不定积分基本公式 四、小结
问题
1、已知曲线y=x2+1，求该曲线在任一点x处 切线的斜率，即y'=2x．反过来，如果已知 某曲线在任一点处的切线斜率为2x, 求该曲 线的方程.
2、已知某产品的总成本TC是其产量Q的函 数TC=TC(Q), 求该产品成本关于产量的变 化率（边际成本）TC'(Q)．反过来, 如果已 知成本的变化率TC'(Q), 求该产品的成本函 数TC(Q).
b
例6 求
1 dx. x(1 2ln x)
解:
x(1
1 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d(ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d(1 x
2
ln
x)
1 ln | 1 2 ln x | C 2
常见的凑微分形式有：
dx 1 d ax b
a
xn1dx 1 d xn n exdx d(ex )
一、第一类换元积分法 二、有理函数的不定积分 三、第二类换元积分法 四、小结
一、第一类换元积分法
问题 cos 2xdx ( )sin 2x C
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt 2
cos 2 xdx
1 2
cos tdt
1 sin 2
t
C
1 sin 2x C 2
解： 设曲线方程为y=f(x), 在任一点 (x,y)处的切线斜率为y', 则有
y'=3x
y
3 xdx
3x2 2
C
又由于曲线经过点(0,1), 得C=1
y 3 x2 1 2
例5 某工厂生产某产品, 每日生产的总成 本y的变化率（边际成本）是 y 5 1 , 已知固定成本为10000元, 求总成本y．x
(3
2 x )dx
u 3 2x
1 2
1du u
1 2
ln
u
C
1 2
ln
3
2x
C.
例5 求
3
1 2
dx. x
又解:
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(33
22 xx )ddxx
1 2
3
1 2
xdd332
x2x
凑微分
1 ln | 3 2x | C 2
一般地
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d ax
解： sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x) sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C
3
5
7
形如∫sinmxcosnxdx的解题思路： m,n中有一个为奇数时，将奇数次中的一个与dx 进行凑微分.
一、原函数与不定积分的概念
定义 设函数f(x)定义在区间I上, 如果存在 一个函数F(x)，对任意的x∈I,都有
F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 那么称F(x)为f(x)在I上的一个原函数． 一个函数具备什么条件，其原函数一定存在？
定理 （原函数存在定理）如果函数f(x)在区 间I上连续, 那么在区间I上f(x)一定存在原函数．
解法3 2 sin x cos xdx (t cos x,dt sin xdx) 2 tdt t 2 C cos x2 C.
例4 求
1 dx. 3 2x
解: 1dx ln x C
x 1 1 1 (3 2x) 3 2x 2 3 2x
3
1 dx 2x
1 2
3
1 2x
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C .
如果 u ( x)（连续可导） dF[( x)] f [( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
F[( x)] C
由此可得第一换元积分法定理
定理 若∫f(x)dx=F(x)+C,则有
csc2
xdx
cot
x
C;
(9) sec x tan xdx sec x C;
(10) csc x cot xdx csc x C;
1
(11) 1 x2dx arctan x C;
1
(12)
dx arcsin x C; 1 x2
例6
求积分
(
1
3 x
2
2 )dx.
1 x2
即：连续函数一定有原函数.
问题 (1) 一个函数的原函数是否唯一？
(2) 若不唯一，它们之间有什么联系？ 例 (sinx)'= cosx, (sinx+C)'= cosx 关于原函数的说明： （C为任意常数）
（1）若 F'(x)=f(x)，则对于任意常数C ， F(x)+C都是f(x)的原函数——原函数族.
例7 求
1 e xdx; x
ex 1 e x dx ;
ex 1 e2x dx;
x cos x2dx;
1 1 e x dx ;
1
ln x
x
dx.
例8求
tan xdx, cot xdx
解：
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d(cos
x)
ln
cos
x
C
cot
xdx
1 1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C
四、小结
原函数的概念：F ( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分公式（1）～（12） 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
经济数学——微积分
3.2 不定积分的换元积分法
解：
3
( 1
x2
2 )dx
1 x2
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例7 求积分 x2 xdx.
解： x2
xdx
5
x 2dx
x 51 2
5
C
1
2
2
7
x2
C.
7
根据公式(2)
xdx
x 1 C
1
例8 求 5x exdx.
cos sin
x x
dx
1 sin
x
d(sin
x)
ln
sin
x
C
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C
例9 求
1 a2 x2dx.
解：
a2
1
x 2 dx
1 a2
1 x 2dx 1 a2
1 a
1
1 x a
2
d
x a
1 a
arctan
x
dx 1
11
1
2 cos2 x dx
tan x C 2
例11
求 cos2
x dx.
2
解： cos2
x 2
dx
1(1 2
cos
x)dx
1 ( x sin x) C 2
例12
求积分
1 x x2 x(1 x2 ) dx.
解：
1 x x2 x(1 x2 )dx
x (1 x2 ) x(1 x2 ) dx
（k 是常数，k 0)
(4) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f ( x)dx g( x)dx
f ( x)dx
g(
x )dx
f (x) g(x)
∴等式成立
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三、不定积分的基本积分公式
(1) kdx kx C (k是常数);
k
k
例2 求
2 xex2dx.
解：
原式
e
x
2
(
x
2
) dx
ex2d( x2 ) ex2 C
例3 求 sin 2 xdx
解法1
1 2
sin tdt
1 cos 2
t
C
(t
2 x, dx
1 2
dt )
解法2 2 sin x cos xdx (t sin x,dt cos xdx) 2 tdt t 2 C sin x2 C;
（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数）.
定义
函数f(x)在区间上I上的全体原函数 F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在区 间I上的不定积分，记为∫f(x)dx，即
f ( x)dx F ( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
解:
1 x2 8x 25 dx
1 ( x 4)2 9 dx
1
32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 4 2
1
d
x
3
4
1 arctan x 4 C
3
3
例13 求
sin2 x cos5 xdx 和 sin4 x cos2 xdx.
x a
C
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
例10 求
解：
1 dx.
a2 x2
1
1
dx
a2 x2
a
1
dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin
x a
C
1
x
dx arcsin C
a2 x2
a
例11 求
csc xdx.
解:(1)
csc xdx