二元一次方程组知识点及典型例题
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5．请写出一个以 为解的二元一次方程组
6．（1） （2）
（3） （4）
7．已知 是方程组 的解，求 的值。
8．已知等式 ，当 时， ；当 时， ；求 的值．
9．方程组 的解为 ห้องสมุดไป่ตู้被遮盖的两个数分别为多少？
10．若方程组 的解x和y的和为0，求k的值。
11．已知方程组 的解适合方程 ，求m的值
12．已知方程组 与方程组 的解相同，求a,b的值
二元一次方程组
一、知识回顾：
1、含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。
2、把具有未知数的方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；能使二元一次方程组的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
3、解二元一次方程组的基本思想是，它有和
这几大步骤。
5、由个方程组成，并且方程组中含有个相同未知数，每个方程中含未知数的项的次数都为，这样的方程组叫做三元一次方程组。
6、解三元一次方程组的基本思路是：通过或进行消元，将三元一次方程组问题转化为二元一次方程组，再将二元一次方程组转化为求解。
二、典型例题：
1．在方程 中，如果用含有 的式子表示 ，则
求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少？
某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全厂购物满100元返还30元购物券，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买他看中的两种物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选购，在哪一家购买更省钱？
2、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能赔不是进行．受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：
5
1.4
2.0
1.3
他共用了116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44千克到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出小平能挣多少钱？
【第二题】某村有若干人准备用平均集资的方法筹集万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为此开发项目有潜力，申请参加，于是每人可少筹资3000元，最后收款时，又增加一人，再次使每人平均筹资额减少600元，则该村开始时有多少人筹资？共筹资多少元？
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【典型例题五】图标信息题
下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小李用8000元作为预订下表中比赛项目门票的资金。
13．若方程组 与方程组 有相同的解，求a，b的值。
14．小红和小丽共同解方程组 ，由于小红看错了a的值，求得的解是 ，小丽看错了b的值，求得的解是 ，（1）你能求出a，b的正确的值吗？（2）方程组的正确的解为多少？
15．若 ，则 的值为多少？
16．求二元一次方程 的正整数解。
17．已知方程组 ，则 为多少？
两种方法；把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含的式子表示出来，{再另一个方程，实现消元进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做；当两个二元一次方程中同一个未知数的系数（或）时，将两个方程的两边分别（或），就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做。
4、列方程组解应用题的步骤可概括为
20到40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次）共付出264元，请问张强第一次第二次分别购买香蕉多少千克？
【典型例题七】其他题型
【第一题】小平在蔬菜批发市场上了解到以下信息：
蔬菜品种
红辣椒
黄瓜
西红柿
茄子
批发价（元/千克）
4
1.2
1.6
1.1
零用价（元/千克）
【典型例题三】配套问题
一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果一立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么要用多少立方米木料做桌面。多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【典型例题四】经营决策问题
1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍还少8元
2．下列方程中，那些是二元一次方程？
（1） (2) (3) (4) (5)
3．已知方程2x2m+3+3y4n-7=4是关于x、y的二元一次方程，则m为多少？
4．方程（k2-4）x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x、y的方程，则：当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？
18．已知 ，且 ，则 的值为多少？
19．当a为何值时,方程组 有正整数解?并求出正整数解.
20．关于x，y的方程组 的解是正整数，求整数p的值。
三、二元一次方程组的应用：
【典型题型一】购物问题
某城区中学五月份开展了与农村偏远学校手拉手的活动，九年级3班苗苗同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元，你知道苗苗同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？
若全部资金用来预订篮球门票和乒乓球门票10张，问男篮球门票和乒乓球门票各订多少张？
小李想用全部资金预订男篮，足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由
比赛项目
票价（元/场）
男篮
1000
足球
800
乒乓球
500
【典型例题六】分类讨论题
某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉
不超过20千克
【典型题型二】解决生活用水问题
某市为更有效地利用水资源，如果一户三口之家每月用水量不超过M立方米，按每立方米1.3元收费，如果超过M立方米，超过部分按每立方米2.90元收费，其余仍按每立方米1.3元计算，小红一家三口人，7月份共用水12立方米，支付水费22元，问该市制定的用水标准M为多少立方米？小红一家超标使用了多少立方米的水？
6．（1） （2）
（3） （4）
7．已知 是方程组 的解，求 的值。
8．已知等式 ，当 时， ；当 时， ；求 的值．
9．方程组 的解为 ห้องสมุดไป่ตู้被遮盖的两个数分别为多少？
10．若方程组 的解x和y的和为0，求k的值。
11．已知方程组 的解适合方程 ，求m的值
12．已知方程组 与方程组 的解相同，求a,b的值
二元一次方程组
一、知识回顾：
1、含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。
2、把具有未知数的方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；能使二元一次方程组的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
3、解二元一次方程组的基本思想是，它有和
这几大步骤。
5、由个方程组成，并且方程组中含有个相同未知数，每个方程中含未知数的项的次数都为，这样的方程组叫做三元一次方程组。
6、解三元一次方程组的基本思路是：通过或进行消元，将三元一次方程组问题转化为二元一次方程组，再将二元一次方程组转化为求解。
二、典型例题：
1．在方程 中，如果用含有 的式子表示 ，则
求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少？
某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全厂购物满100元返还30元购物券，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买他看中的两种物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选购，在哪一家购买更省钱？
2、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能赔不是进行．受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：
5
1.4
2.0
1.3
他共用了116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44千克到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出小平能挣多少钱？
【第二题】某村有若干人准备用平均集资的方法筹集万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为此开发项目有潜力，申请参加，于是每人可少筹资3000元，最后收款时，又增加一人，再次使每人平均筹资额减少600元，则该村开始时有多少人筹资？共筹资多少元？
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【典型例题五】图标信息题
下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小李用8000元作为预订下表中比赛项目门票的资金。
13．若方程组 与方程组 有相同的解，求a，b的值。
14．小红和小丽共同解方程组 ，由于小红看错了a的值，求得的解是 ，小丽看错了b的值，求得的解是 ，（1）你能求出a，b的正确的值吗？（2）方程组的正确的解为多少？
15．若 ，则 的值为多少？
16．求二元一次方程 的正整数解。
17．已知方程组 ，则 为多少？
两种方法；把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含的式子表示出来，{再另一个方程，实现消元进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做；当两个二元一次方程中同一个未知数的系数（或）时，将两个方程的两边分别（或），就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做。
4、列方程组解应用题的步骤可概括为
20到40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次）共付出264元，请问张强第一次第二次分别购买香蕉多少千克？
【典型例题七】其他题型
【第一题】小平在蔬菜批发市场上了解到以下信息：
蔬菜品种
红辣椒
黄瓜
西红柿
茄子
批发价（元/千克）
4
1.2
1.6
1.1
零用价（元/千克）
【典型例题三】配套问题
一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果一立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么要用多少立方米木料做桌面。多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【典型例题四】经营决策问题
1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍还少8元
2．下列方程中，那些是二元一次方程？
（1） (2) (3) (4) (5)
3．已知方程2x2m+3+3y4n-7=4是关于x、y的二元一次方程，则m为多少？
4．方程（k2-4）x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x、y的方程，则：当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？
18．已知 ，且 ，则 的值为多少？
19．当a为何值时,方程组 有正整数解?并求出正整数解.
20．关于x，y的方程组 的解是正整数，求整数p的值。
三、二元一次方程组的应用：
【典型题型一】购物问题
某城区中学五月份开展了与农村偏远学校手拉手的活动，九年级3班苗苗同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元，你知道苗苗同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？
若全部资金用来预订篮球门票和乒乓球门票10张，问男篮球门票和乒乓球门票各订多少张？
小李想用全部资金预订男篮，足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由
比赛项目
票价（元/场）
男篮
1000
足球
800
乒乓球
500
【典型例题六】分类讨论题
某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉
不超过20千克
【典型题型二】解决生活用水问题
某市为更有效地利用水资源，如果一户三口之家每月用水量不超过M立方米，按每立方米1.3元收费，如果超过M立方米，超过部分按每立方米2.90元收费，其余仍按每立方米1.3元计算，小红一家三口人，7月份共用水12立方米，支付水费22元，问该市制定的用水标准M为多少立方米？小红一家超标使用了多少立方米的水？