第五节 不确定关系

1.05 10
m s
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定 性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。
例
原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。
解：
P = m V
x 10
10
m
Px 5 V 5.8 10 m s m 2mx
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。
第五节 不确定关系
回顾所学: 1. 物质波是一种什么波? 2. 什么是实物粒子的波粒二象性?
一. 物质波 实物粒子的波粒二象性
光的干涉、衍射等现象证实了光 的波动性；热辐射、光电效应和康普 顿效应等现象又证实了光的粒子性。 光具有波-粒二象性。
德布罗意
德布罗意波在光的二象性的启发下，提 出了与光的二象性完全对称的设想，即实物 粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性 的假设。
2
2
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布 经典观点： 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。 量子论观点：
Ψ ( x)
2
Ψ ( x)
2 2 n sin ( x) a a
Ψ ( x)
2
当 n 很大 时， 量子 概率分布 就接近经 典分布
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小 N=7 N=100 N=3000 N=20000 电子数 N=70000
出现概率大
二. 不确定关系
位置与动量的不确定性关系 在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任 何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由
0 U ( x)
0 xa
x 0, x a


o
a
x
保守力与势能之间的关系：
dU ( x ) F dx
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
d i E i 2 2m d x 2mE 2 k 2 i ( x) C sin( kx )
德布罗意假设：
不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原 子、分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P 和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为 ν 和波 长为 的波, 二者之间的关系如同光子和光波的关 系一样, 满足：
E m c hν
2
p mv
h

这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或
极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量，
“宏观物体只表现出粒子性”
物质波波函数
波函数及其统计解释
1926年玻恩指出物质波是一种概率波，它描述了 粒子在各处出现的概率。
与经典波用波函数描述类似，如果用一个时间空间 2 Ψ ( r , t ) 函数 描述物质波，则波函数振幅的平方 | Ψ(r , t ) | 就表示t时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的 概率，又称为概率密度. 即波函数的物理意义： 2 —— t 时刻，粒子在空间 r 处 | Ψ(r , t ) |
波函数 一 一维自由粒子波函数
薛定谔方程
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
y A cos 2 (vt
用指数形式表示：
x
y Ae
IA
x i 2 ( vt )

)

取复数实部
波的强度
2
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观 粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数 相当于单色平面波，类比可写成：
当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为
E n En

2 h 2n 8 ma 2 2 h2 n 8 ma 2

2 n
可见能级的相对间隔 En随着n的增加成反比地 减小。当
n
时 ，En 较之
En
En要小的多。这时，
能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的
，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可 以看作是量子物理中量子数 n 时的极限情况。
*
单位体积内粒子出现的概率 波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反 映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波， 电磁波。
二. 波函数的标准化条件和归一化条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
即：
Ψ dV 1
亮波强 电子到达多
暗波弱 电子到达少
玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。
出现在 dV 内概率： dW
Ψ (r , t ) dV
2
2
dV=dx dy dz
概率密度：
w Ψ ( r , t ) ΨΨ
2 2 2
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V (
E i t
r
) 、能量 E
不
随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
由上两式得
Ψ(r , t ) Ψ(r )e
定态薛定谔方程
粒子能量
2 2 2 2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0
n =4 n =3 n =2 a n =1
0
0
a
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
如果势阱不是 无限深，粒子的能 量又低于势璧，粒 子在阱外不远处出 现的概率不为零。 经典理论无 法解释，实验得 到证实。
Ψ ( x)
2
0
a
例 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。 解： 根据势阱中的能量公式 E
15
( 6.6334 J s ) 2
2
n eV
2
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常 小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。
当a=10-10m时
E 37.7 n eV
2
E ( 2n 1) 37.7eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非 常大的，这时电子能量的量子化就明显的表 现出来。
Ψ ( x, t ) Ψ 0e Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 ( vt )
E hν
p h
2 i ( Et px ) h

量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式 这里的和 0 一般都为复数。
波函数的统计意义 电子双缝衍射
波的强度---------振幅的平方
px p sin
d sin x sin
h p x p x x
p
h


xpx h
x Px h源自文库
若考虑次级衍射:
xpx h
一般有:
严格的理论给出的不确定性关系为：
x p x 2 y p y 2 z p z 2
a 2 a 2
据归一化条件，得
讨
论：
(1)粒子能量不能取连续值 由
2mEn 2 K ＝ 2
n , K a
得
2 2 2 En n , n 1,2,3 2
2ma
能量取分立值（能级），能量量子化 是粒子处于束缚态的所具有的性质。
（2）粒子的最小能量不等于零
最小能量
n E1 2 2ma
说明 (1)求解 E （粒子能量）
( r ) （定态波函数）
(2)势能函数 V 不随时间变化。 一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
描 述 外 力 场 的 势 能 函 数
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
四.用薛定谔方程解一维无限深势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。 一维无限深势阱：
物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
x Px 2
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
§12—3 波函数 薛定谔方程及简单应用
你知道吗？ 1. 物质波波函数的统计意义? 2. 一维定态薛定谔方程的物理意义?
对于微观粒子，牛顿方程已不适用。
微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程
V 150 V V 10000 V
0.1nm X射线范围 0.01225 nm
玻尔氢原子量子化条件与驻波条件是等效的。
2r n
将德布罗意关系式
代入即得
h mV
r
h mv r n 2
玻尔理论中的角动量量子化条件
德布罗意假设的实验证明
1) 戴维孙-革末实验（1927） 电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线 在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电 子具有波动性。
于微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些
成对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等） 不可能同时具有确定的量值。 下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题


P
x
狭缝


Px

入射电子束
照相底版
只考虑一级衍射:
电子可在缝宽 x 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 确定量就是缝宽 x ，电子在 x方向的动量不确定量:

2 2 2 ma 2
n
2
h2 8 ma 2
n
2
得到两相邻能级的能量差 E E n1 E n
(2n 1)
h2 8 ma 2
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而 增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。 当a=1cm时
E 89.111031 kg (102 m ) 2 n 3.37 10
2 2
由边界条件得： i (0) C sin
0
i (a) C sin ka 0 0 ka n , n 1,2,3
nx d x 1 0 ( x, t ) d x 0 C sin a 2 C a i Et 2 n ( x , t ) sin xe 得波函数表达式： i a a
2
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一
波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息
哥本哈根学派
爱因斯坦
三. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。 质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V (
r ,
t ) ，薛定谔方程为
(r , t ) 2m x 2 y 2 z 2 V (r , t ) (r , t ) i t
物质波 。
p mv
m m0 1
h

2
h h h 1 2 p m V m0V
德布罗意公式
如果v c, 则：
h m0 v
例：电子在电场里加速所获得 的能量
1 2 E m0V eU 2
h h 电子的德布罗意波长 p moV
h 2emoU
例
设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量 x 。 px m x 由于
根据不确定性关系得
x
2 mx

1.051034 J s 20.01kg0.510 2 m 30
首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系)
它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动 量。粒子位置的不确定量 x 越小，动量的不确定量 Ρx 就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描 述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不 再适用。 ----------微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现
B
D

G
K U

M
镍单晶
2)、汤姆逊（1927） 电子衍射实验
多晶 铝 箔
3)、约恩逊（1960） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射
双缝衍射
三缝衍射
四缝衍射
例 计算m=0.01kg，V=300m/s的子弹的德 布罗意波长.
因V<<c
,故有
34
h h 6.6310 34 2.2110 m 0 . 01 300 p mV