7.8机械能守恒定律

Ek增 EP 减
1 2 2mg h mg h (2m m)v 2
2 gh v 3 1 1 2 mv mgh （ - 2mv 2 2mgh ） 2 2
三.功能原理： 除重力或弹簧弹力做功外，其他力所做的总功等 于物体机械能的变化量，即W其=Δ E机
例：如图4所示,ABCD是一个盆式容器,盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC相切的圆孤,B、C为水平的,其距 离d=0.50m.盆边缘的高度为h=0.30m.在A处放一个质量为 m的小物块并让其从静止出发下滑.已知盆内侧壁是光滑 的,而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ =0.10.小物 块在盆内来回滑动,最后停下来,则停的地点到B的距离为 ( D ). A. 0.50m B. 0.25m C. 0.10m D. 0
E Ek EP
1 2 在不含弹性势能的情况下: E 2 mv mgh
3.机械能只有大小,没有方向，是标量 4.由于动能具有相对性,势能具有相对性和系统 性,所以机械能具有相对性和系统性.在计算机 械能时,要选取参考平面,求出物体的动能和势 能,机械能是二者之和.
质量为2Kg的小球在距离地面10m高处瞬时速 度是10m/s，求出此刻小球的机械能?(g=10m/s2)
v 5m / s
t 0.2s
1 2 2 R gt 2
s vt
s 1m
例：如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道 和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为 m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。 要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力 不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨 道底部的高度h的取值范围。
v
G 小钢球
小球的受力情况如何？ FN A O B 重力G、支持力FN、弹力F 各个力的做功情况如何？ G和FN不做功，F做功 F 这个小实验说明了什么？ G 小球在往复运动过程中弹性 势能和动能在不断转化. 小球在往复运动过程中总能 回到原来的位置，可见，弹 性势能和动能的总和应该保 持不变，即机械能保持不变
F mg mg F弹
例：下列所述的实例中（均不计空气阻力），机 械能守恒的是（ A C ） A.石块自由下落的过程 B.人乘电梯加速上升的过程 C.投出的铅球在空中运动的过程 D.木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
例：关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说 法中正确的是（ D ） A、做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒 B、做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒 C、外力对物体所做的功等于0时，机械能一定守 恒 D、物体若只有重力做功，机械能一定守恒
Ek 2 E p 2 Ek1 E p1
二、机械能守恒定律 1.两种表述：
条件
1）在只有重力或弹簧弹力做功的物体 系统内，动能和势能可以互相转化， 而总的机械能保持不变。
2）如果没有摩擦和 介质阻力，物体只发 生动能和势能的相互 转化时，机械能的总 量保持不变。
1.动能增加，势能一定减小， 并且，动能增加量等于势能减小量。 2.动能减小，势能一定增加， 并且，动能减小量等于势能增加量。
练一练
A
m
v= 10m/s
以地面为参考面 以抛出点为参考面
1 2 E mv mgh =300J 2
h=10m
1 E mv 2 0 =100J 2
实验中，小球的受力情况如何？ 受重力G和绳的拉力F作用 各个力的做功情况如何？
拉力和速度方向总垂直，对小球不做功 ；只有重力对小球能做功 这个小实验说明了什么？ 小球在摆动过程中重力势能和动能在不 断转化。在摆动过程中，小球总能回到 原来的高度.可见，重力势能和动能的总 和保持不变，即机械能保持不变
例：如图所示，桌面离地高为h，质量为m的小球 从离桌面高H处自由下落，不计空气阻力，假设 桌面为零势能的参考平面，则小球落地前瞬间的 机械能为( B ) A．mgh C．mg(h+H) B．mgH D． mg(H-h)
例:把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆 （如图），摆长为l ,最大偏角为θ .小球运动到 最低位置时的速度是多大？
L 2
g mv mg 解得 4 L 8 2 2
v
4
如图所示，质量为m的物体以某一初速v0从A点向 下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通 过最低点B的速度为3 gR ，求： (1)物体在A点时的速度； (2)物体离开C点后还能上升多高． h
解：以B点所在平面为参考平面 A→B，机械能守恒
A
R
B
1 2 mgR mv 2 在B点：
A→B，机械能守恒
v FN m g m R
2
例：长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使 其长度的1/4垂在桌边，如图所示，松手后链条从 静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边 时的速度大小为多大？
初 末 解析:链条下滑时，因桌面光滑， L L 没有摩擦力做功 8 4 整根链条总的机械能守恒， 可用机械能守恒定律求解 设整根链条质量为m，则单位 长度质量为m／L,设桌面重力势能为零 初状态： 末状态： 1 Ek1 0 Ek 2 mv2 2 L E p1 L m g L E mg 4 L 8 p2 2 由机械能守恒定律得：EK1+EP1= EK2+EP2 即： 15gl L m L 1 2 L
2．机械能守恒定律成立的条件： 1）只有重力或弹力做功. 从做功角度分析 只有重力或系统内弹簧弹力做功，其它力不做 功（或其它力所做的总功为零） 从能量转化角度分析 只有系统内动能和势能相互转化，无与其它形 式能量之间转化（如内能） 2）对某一系统： 没有摩擦和介质阻力，即只有系统内动能和势 能的转化，系统跟外界没有机械能的转移，也 没有转化成其它形式的能（如内能）
l θ F
A
小球在最低点O时为末状态： 末状态的动能：Ek2=mv2/2 重力势能：Ep2=0 末状态的机械能为：Ek2+Ep2=mv2 /2 根据机械能守恒定律有 ：Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 即 mv2/2= mgl (1-cosθ )
v
O
B
G
Baidu Nhomakorabea所以v =
2gl(1 cosθ )
5.机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)及研 究的过程 (2)对研究对象进行受力分析，弄清各力在研究 过程中的做功情况，判断是否符合机械能守恒 的条件 (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程 中的初始状态和末状态的机械能(包括动能和势 能)
分析： 拉力和速度方向总垂直，对 小球不做功；所以这个过程 中只有重力对小球能做功， 机械能守恒。
l θ F
A
v
O
B
G
例：把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l,最大偏角 为θ .小球运动到最低位置时的速度是多大？
选择小球在最低位置时所在的水平面为参考平面。 解： 小球在最高点A时为初状态： 初状态的动能： Ek1=0 初状态的重力势能：Ep1=mg(l-lcosθ ） 初状态的机械能：Ek1+Ep1=mg(l-lcosθ )
-μ mgs=-mgh
s=3m
例：如图所示，在水平地面上平铺n块砖，每块 砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放 起来，至少需要做多少功？ 功能原理 解：取水平面为零势能面
nh h WF nmg nmg 2 2
1 WF n( n 1) mgh 2
例：要将一个质量为m、边长为a的匀质正立方体 翻倒，推力对它做功至少为多少？ a a a
1 2 1 2 mv0 mg 3R mvB 2 2
B→最高点，机械能守恒
v0 3gR
h 3.5 R
1 2 mvB mg ( R h) 2
例：如图两物体质量分别为m和2m，滑轮的质量 和摩擦都不计，开始时用手托住2m的物体，释放 后，当2m的物体从静止开始下降h后的速度是多 解：系统机械能守恒 少?
EA机 EB机
Ek减 EP 增
Ek增 EP 减
练习:除1外都不计空气阻力，哪些情况机械能是 守恒的？
1.跳伞员利用降落伞在空 气中匀速下落
F
2.用力F拉着一个物体沿着 光滑的斜面匀速上升
FN
F
mg
mg
3. 用细绳系一小球，使小球 4．轻弹簧拴一小球在竖直 方向做往复运动 在竖直平面内做圆周运动
1 2 1 2 m v2 m v1 2 2
h1
B
h2
地面为参考面
根据动能定理得： WG 由重力做功与重 力势能的关系得 由以上两式得 移项得 结论
WG mgh 1 mgh 2
1 1 2 mv2 mv12 mgh1 mgh2 2 2 1 1 2 mv2 mgh2 mv12 mgh1 2 2
5.机械能是一种能量形式,机械能中的动能和势 能的相互转化是通过重力或弹簧弹力做功实现的. 即重力或弹力做功,动能和势能相互转化;其他力 做功,机械能和其他形式的能相互转化.
m
A
A点 E A E kA E PA
v1 v2
B点 E B E kB E PB
1 mv12 mgh1 2 1 2 mv2 mgh2 2
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解
例：一个小滑块从半圆形轨道上端由静止开始下滑，当 滑到轨道最低点时，对于滑块动能的大小和对轨道的压 力，下列说法正确的是（ C ） A.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道压力越大。 B.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道压力越小。 C.轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道压力与半径无 关 D.轨道半径变化时，滑块的动能与对轨道的压力都不 变
应 该
a
a
功能原理 2a a WF m g m g 解：取水平面为零势能面
2 2 1 WF ( 2 1) mga 2
四.机械能与圆周运动的综合问题 机械能与圆周运动的综合问题是一种广泛而典型 的物理问题.对于这类问题应从两个角度进行分 析:一要正确地分析物体在做圆周运动过程中,机 械能的特点(如机械能是否守恒),同时通过题目 注意临界条件的判断.临界条件的判断须以物体 做圆周运动的约束特征为基础.
第八节 机械能守恒定律
知识回顾
弹性势能公式
1 2 Ek m v 2
1. 重力势能公式 EP m gh
动能的公式
1 EP kx2 2
2.重力做功和重力势能的关系式？
WG EP EP2 1
3.动能定理的表达式？
W总 EK2 EK1
一、机械能 机械能是动能、重力势能、弹性势 1.定义： 能的统称，用符号E表示 2.表达式：
4.各种表达式： ⑴守恒观点: 初状态机械能等于末状态机械能 即 E p1 Ek1 E p 2 Ek 2 或者：E2 E1 在不含弹性势能的情况下可写作:
1 1 2 2 mgh1 mv1 mgh2 mv2 2 2
用该式时，需要规定重力势能的参考平面,且初 末状态必须用同一零势能面计算势能
⑵转化观点: 动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加 量 E k1 E K 2 E p 2 E P1 E k E p E p Ek 表示系统(或物体)机械能守恒时系统减少(或增 加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能.应 用时,关键在于分清重力势能的增加量和减少量, 可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差. (3)对于一个系统中两个物体,A的机械能的变化 量等于B物体机械能变化量的负值:
例：如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨 道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切。 在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s， 结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点， 求C、D间的距离s. 取重力加速度g＝10m/s2。
解：取水平面为零势能面
1 1 2 2 mv 0 mv mg 2 R 2 2
3.对机械能守恒定律的理解： ①当研究对象（除地球以外）只有一个物体时， 往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是 否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体 组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力” 来判定机械能是否守恒. ②“只有重力做功”不等于“只受重力作用”. 在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这 些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认 为是“只有重力做功”.