《空间向量的夹角和距离公式》教案及说明
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1 B1 ，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值． 4
(1)解：设 G 点的坐标为 G( x, y, z ) ，则
1 D G DM DN 2 1 0 , 1 8 , 30 2
24 , 0, 0
.5 1 2 , 9 , 1
1、空间两点间的距离公式
已知：A( x1, y1, z1 ) ，B( x2 , y2 , z2 ), 则
Leabharlann Baidu
z
A( x1 , y1, z1 )
a
AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
AB AB AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
1
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2） 此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?
A
D1
M
C1
D N
问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
MN AC1 cos MN , AC1 MN AC1
24 30 18 30 30 30 30 2
30
2
302 30 2
2 6 . 5
此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦 值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？ (三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离 , 两条直线所成的 角,而在正方体中还有许多的点与线, 例 2： （1）若 G 为 MN 的中点，求 GB 两点间的距离. （2）若 B1 E1 D1 F1
3
15 15 BE1 0, ,30 , DF1 0, ,30 . 2 2
15 15 30 30 15 BE1 DF1 2 2 . cos BE1 , DF1 17 15 17 15 17 BE1 DF1 2 2
G 1 2 , 9 , 1 B 5 ,
3 0,, 3 0 , 0
GB 182 212 152 3 110.
45 (2)解:如图， B 30,30, 0 , E1 30, ,30 2 15 D 0, 0, 0 , F1 0, ,30 . 2
空间向量的夹角和距离公式
三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用， 让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008 年 5 月 16 日， 南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的 传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄 伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这 么一个问题. 引例:在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面）
d A, B ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
a
O
b
B( x2 , y2 , z2 )
y
2、夹角公式 设 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 ，
x
则 a OA, b OB a b cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y12 z12 x22 y22 z22
2 1
(二)例题示范，形成技能 例 1: 在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系，
2
则
A30,0,0 , C1 0,30,30 M 0,18,30 , N 24,0,0 ；
2 2 （1） MN 242 18 30
30 2m
（2） MN 24, 18, 30 , AC1 30,30,30 .
(1)解：设 G 点的坐标为 G( x, y, z ) ，则
1 D G DM DN 2 1 0 , 1 8 , 30 2
24 , 0, 0
.5 1 2 , 9 , 1
1、空间两点间的距离公式
已知：A( x1, y1, z1 ) ，B( x2 , y2 , z2 ), 则
Leabharlann Baidu
z
A( x1 , y1, z1 )
a
AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
AB AB AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
1
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2） 此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?
A
D1
M
C1
D N
问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
MN AC1 cos MN , AC1 MN AC1
24 30 18 30 30 30 30 2
30
2
302 30 2
2 6 . 5
此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦 值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？ (三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离 , 两条直线所成的 角,而在正方体中还有许多的点与线, 例 2： （1）若 G 为 MN 的中点，求 GB 两点间的距离. （2）若 B1 E1 D1 F1
3
15 15 BE1 0, ,30 , DF1 0, ,30 . 2 2
15 15 30 30 15 BE1 DF1 2 2 . cos BE1 , DF1 17 15 17 15 17 BE1 DF1 2 2
G 1 2 , 9 , 1 B 5 ,
3 0,, 3 0 , 0
GB 182 212 152 3 110.
45 (2)解:如图， B 30,30, 0 , E1 30, ,30 2 15 D 0, 0, 0 , F1 0, ,30 . 2
空间向量的夹角和距离公式
三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用， 让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008 年 5 月 16 日， 南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的 传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄 伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这 么一个问题. 引例:在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面）
d A, B ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
a
O
b
B( x2 , y2 , z2 )
y
2、夹角公式 设 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 ，
x
则 a OA, b OB a b cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y12 z12 x22 y22 z22
2 1
(二)例题示范，形成技能 例 1: 在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系，
2
则
A30,0,0 , C1 0,30,30 M 0,18,30 , N 24,0,0 ；
2 2 （1） MN 242 18 30
30 2m
（2） MN 24, 18, 30 , AC1 30,30,30 .