信道编码(差错控制编码)

行监督码元 ↓
0101101100
1
0101010010ຫໍສະໝຸດ 00011000011
0
1100011100
1
0011111111
0
0001001111
1
1110110000
1
列监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
0
5.2.3 群计数码
把信息码元中“1”的个数用二进制数字 表示，并作为监督码元放在信息码元的后面， 这样构成的码称为群计数码。
表5-2
国际通用的七中取三码
5.2.5 ISBN国际统一图书编号
国际统一图书编号也是一种检错码，主 要目的是为了防止书号在通信过程中发生误 传。图书编号的格式有统一的规定。
5.3 线性分组码
5.3.1 线性分组码基本概念 5.3.2 汉明码 5.3.3 对一般线性分组码的讨论
上一节介绍了一些简单编码，其中奇偶 监督码的编码原理利用了代数关系式，这类 建立在代数学基础上的编码称为代数码。
系。
图5-5 最小码距与检纠错能力的关系示意图
5.2 几种常用的检错码
5.2.1 奇偶监督码（奇偶校验码） 5.2.2 二维奇偶监督码 5.2.3 群计数码 5.2.4 恒比码 5.2.5 ISBN国际统一图书编号
5.2.1 奇偶监督码（奇偶校验码）
奇偶监督码（又称为奇偶校验码）是一 种最简单也是最基本的检错码，在计算机数 据传输中得到了广泛的应用。
第5章 信道编码（差错控制编码）
5.1 信道编码基本概念 5.2 几种常用的检错码 5.3 线性分组码 5.4 循环码 5.5 卷积码 5.6 交织编码 本章内容小结
学习要点
信源编码的概念 差错控制编码的分类及其工作原理 常用的检错码 线性分组码 循环码 卷积码 交织码
学习重点
信源编码的概念和目的 差错控制编码检错与纠错原理 汉明码及编码过程（监督矩阵和生成矩 阵） 循环码的编译码方法 卷积码的编解码及图解表示
需要指出的是，在传统的数字传输系统 中，纠错编码与数字调制是各自独立设计实 现的。
目前已把编码器和调制器合成一个统一 的整体，这就是所谓的网格编码调制（TCM）。
限于篇幅，本书对此不作介绍。 各种分类方法之间的关系如图5-2所示。
图5-2 差错控制编码分类之间的相互关系示意图
5.1.4 差错控制编码基本原理
我们把某种编码中各个码组之间距离的
最小值称为最小码距（d0）。
图5-4 码距的几何意义
（6）编码效率
3．最小码距与检纠错能力
最小码距（d0）决定一种编码的抗干扰
能力的大小。
因此，最小码距（d0）是信道编码的一
个重要参数。 抗干扰编码理论的研究结果表明，最小
码距（d0）与检、纠错能力之间满足下列关
例如，一码组的信息码元为1010111，其 中“1”的个数为5，用二进制数字表示为 “101”，将它作为监督码元附加在信息码元 之后，即传输的码组为1010111101。
群计数码有较强的检错能力，除了同时 出现码组中“1”变为“0”和“0”变为“1”的 成对错误外，它能纠正所有形式的错误。
5.2.4 恒比码
其中任一码组在传输中若发现错误，则 将变成另一码组，由于是其中的一个码组， 这时传输错误在接收端就无法发现。
若将上述8种码组选择其中的4种作为许 用码组，例如选择
000 = 晴 011 = 云 101 = 阴 110 = 雨 用来传输信息，令其余4种作为禁用码组，即 001，010，100，111。
（2）分组码
将无冗余度的信息码分组，为每组信息 码附加若干位监督码的编码，称为分组码。
在分组码中，监督码元仅监督本码组中 的信息码元。
（3）分组码结构
分组码一般可用符号(n,k)表示，其中n
是信息码组的总位数，又称为码组的长度
（码长）， k是每组二进制信息码元的数目， r = n − k为每码组中的监督码元数目，分
因为111（雹）中任何一位错误都不可能 变为100（雪）。
但是，若认为错码数不超过两位，则存 在两种可能性：000（晴）错一位变为100 （雪），或者111（雹）错两位变为100 （雪），因而只能检测出有错误码位而无法 纠正它。
2．纠错和检错中的几个术语
（1）冗余度
香农定理告诉我们：信源编码的目的就 是去冗余，提高编码的效率。
前者主要用于发生零星独立错误的信道， 如卫星信道容易出现随机性错误；而后者则 用于对付以突发错误为主的信道，如短波信 道或存储系统。
按照构造差错控制编码的数学方法来分 类，差错控制编码可以分为代数码、几何码 和算术码。
代数码建立在近似代数学基础上，是目 前发展最为完善的编码。
线性码就是代数码的一个最重要的分支。
研究各种编码和译码方法是差错控制编 码所要解决的问题。
随着差错控制编码理论的完善和数字电 路技术的发展，信道编码已经成功地应用于 各种通信系统中，并且在计算机、磁记录与 存储中也得到日益广泛的应用。
5.1.2 差错控制的基本方式
差错控制的根本目的是发现传输过程中 出现的差错并加以纠正。
差错控制的基本工作方式主要基于两种 基本思想：一是通过抗干扰编码，使得系统 接收端译码器能发现错误并能准确地判断错 误的位置，从而自动纠正它们；二是在系统 接收端仅能发现错误，但不知差错的确切位 置，无法自动纠错，必须通过请求发送端重 发等方式达到纠正错误的目的。
按照信息码元在编码后是否保持原来的 形式不变，差错控制编码可划分为系统码和 非系统码。
在差错控制编码中，通常信息码元和监 督码元在分组内有确定的位置，一般是信息
码元集中在码组前k位，而监督码元集中在后 r = n − k位（有时两者也可以倒置）。
在系统码中，编码后的信息码元保持原 样不变，而非系统码中信息码元则改变了原 有的信号形式。
要想纠正错误，还必须增加冗余。 例如，只选用两位码作为许用码组，如 000（晴），111（雹），其余的都是禁用码 组。这样，用三位二进制码代表两种不同的 信息，就有两位码是多余的。
此时，收端可以检测两位以下的错误，或 纠正一位的错误。
例如，当收端收到禁用码组100（雪）时， 若认为只有一位错误，则可以纠正为000 （晴）。
信道编码（channel coding）是为了提 高通信系统传输可靠性而进行的一种信号变 换。
有的文献或书籍也称其为差错控制编码、 纠错编码、可靠性编码或抗干扰编码等。
本章着重分析信道编码的基本概念、常 用纠错码、线性分组码、卷积码等的构造原 理及其应用。
5.1 信道编码基本概念
5.1.1 差错控制编码概念 5.1.2 差错控制的基本方式 5.1.3 差错控制编码分类 5.1.4 差错控制编码基本原理
系统码的性能大体上与非系统码相同， 但是在某些卷积码中非系统码的性能优于系 统码。
由于非系统码中的信息位已“面目全 非”，这对观察和译码都带来麻烦，因此很 少使用。
系统码的编码和译码相对简单些，因而 得到了广泛的应用。
按照纠正错误的类型不同，差错控制编 码可以分为纠正随机错误的码和纠正突发错 误的码。
5.1.1 差错控制编码概念
差错控制编码是检错码和纠错码的总称。 具有检测差错能力的编码称为检错码， 具有纠正差错能力的编码称为纠错码。 差错控制编码的基本思路：在发送端将 被传输的信息附上一些多余的码元（称为监 督码元），这些监督码元与信息码元之间以 某种确定的规则相互关联（约束）。
接收端则按照既定的规则校验信息码元 与监督码元之间的关系，一旦传输发生差错， 信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从 而接收端可以发现错误乃至纠正错误。
为了便于理解纠错和检错的基本原理，下面通过 一个例子来说明。
我们先考察由三位二进制码构成的码组： 三位二进制码有8种不同的组合，即000，001， 010，011，100，101，110，111，我们用这 些组合表示8种不同的天气，例如000（晴）， 001（云），010（阴），011（雨），100 （雪），101（霜），110（雾），111（雹）。
1．纠错和检错的基本原理
前已述及，差错控制包括检错和纠错，它们能够 有效地检测出通信过程中产生的差错，并进行纠正， 从而提高通信质量。
通常，原始的待传输的数据码序列本身变化是随 机的，一般不带有任何规律性。
但是，通过加进冗余码可使其具有某种规律性； 在接收端，通过对规律性的检测，就可发现传输中 的错误。
奇偶监督码又分奇监督码和偶监督码， 两者编码方法相同，就是在信息码元后面附 加一个监督码元，使得码组中“1”的个数为 奇数或偶数，奇数时称为奇监督码，偶数时 称为偶监督码，统称为奇偶监督码。
5.2.2 二维奇偶监督码
图5-6 二维奇偶监督码（并列结构）
表5-1 二维奇偶监督码（偶校验）
信息码元
当发生三位错误时，000（晴）就变成 111（雹），它也是禁用码组，故也能发现三 位错误。
但是，这种编码不能发现两位错误，因 为错两位后产生的码组是许用码组。
上述编码只能用于检测错误，而不能用 于纠正错误。
例如，当收到的码组是100（雪）时，收 端无法判定是哪一位码发生了错误造成的。 因为000（晴），110（雨），101（阴）三者 错一位都可变为100（雪）。
在代数码中，最常见的是线性码。 作为差错控制编码的学习基础，本节讨 论线性分组码，主要使用矩阵和多项式等数 学工具。
5.3.1 线性分组码基本概念
线性分组码是建立在近代代数基础上的， 利用代数关系构造的一种代数码。
在(n,k)分组码中，若每一个监督码元都
是码组中某些信息码元按线性关系相加得到 的，则称为线性分组码。
按照信息码元和监督码元之间的约束方 式不同，差错控制编码可以分为分组码和卷 积码。
在分组码中，编码后的码元序列每n位分 为一组，其中k个是信息码元，r个是附加的 监督码元，r = n − k。
监督码元仅与本码组的信息码元有关， 而与其他码组的信息码元无关。
卷积码的编码序列也划分为码组，但监 督码元不但与本组信息码有关，而且与前面 码组的信息码元也有约束关系。
但要注意并不是不压缩的信号抗干扰能 力就一定很强，一般的信号都有大量的冗余， 但抗干扰能力并不好，主要是因为没有或无 法利用其冗余找到其相关性的规律。
因此，要先去掉冗余，再用更有效的编 码方法加进冗余，这就是在数字通信过程中 为什么要两次编码的原因。
所谓冗余就是在信息中附加比特以便于 接收端进行错误检测。
本来4种不同信息，用两位二进制码的不 同组合表示即可，若用三位表示，则有一位 是多余的，称之为冗余码。
用三位二进制码的不同组合表示4种信息， 在接收端可用来发现传输中的一位错误。
例如，发送的是000（晴），传输中发生 了一位错误，可能变成001（云），010（阴） 或100（雪）。
这三个码组都是禁用码组，故接收端收 到禁用码组时，就判定传输中肯定发生了错 误。
按照这些基本思想，在数字通信中，利 用差错控制编码进行差错控制的基本工作方 式一般分为三种：检错重发、前向纠错和混 合纠错，如图5-1所示。
这些方法的关键是要识别或纠正传输中 的差错。
图5-1 差错控制的基本方式
5.1.3 差错控制编码分类
差错控制编码有多种分类方法。 按照信息码元和附加的监督码元之间的 检验关系，差错控制编码可以分为线性码和 非线性码。 若信息码元与监督码元之间的关系为线 性关系，则称为线性码；反之，若两者不存 在线性关系，则称为非线性码。
5.3.2 汉明码
汉明码是1950年由美国贝尔实验室汉明 （也译为海明）提出的，是第一个用于纠正 一位错码的效率较高的线性分组码。
或者说，用线性方程组表述规律性的分 组码称为线性分组码。
例如，设某一(7,3)分组码为
A =[a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0]
其中前三位是信息码元，后四位是监督 码元，可以用下列线性方程组来表述，即
a3 a6 a4
aa12
a6 a6
a5
a4
a3
a0 a6
a4
线性分组码是一类重要的纠错码，应用 很广泛。
组码的结构如图5-3所示。
图5-3 分组码的结构
（4）码组重量
分组码的一个码组中“1”的数目，称为 码组重量，简称码重。
（5）码距
两个码组对应位上数字不同的位数称码 组的距离，简称码距，又称为汉明（Hamming） 距离。
例如001，010，100，111这4个码组之间， 任意两个码组的距离均为2。