高等数学竞赛试题

第二十届高等数学竞赛试卷

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

1. 若0→x 时，1)1(4

12--ax 与x x sin 是等价无穷小，则

=a .

2. =

+→)

1ln(1

2)

(cos lim x x x .

3. 设函数

2

301sin d ,0,(),0,x t t x f x x

a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.

4.

=∂∂+∂∂=y

z y x z x x y xy z 则设,sin .

5.

的解为：

满足微分方程91

)1(ln 2-==+'y x x y y x .

_______

)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰D

dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，

而其他若设01

006

7.

.

d tan )cos (222

22005

=

+⎰-x x x x

π

π

8. .

sin 2sin sin 1lim

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n n πππ

9.

.

,1222=

≤++Ω⎰⎰⎰Ω

dv e z y x z

计算

所界定由设空间区域

10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0

t >都有2

(,)(,)f tx ty t

f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则

..),(),(=

-⎰dy y x f x x d y x f y L

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

.

,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010

2='

==+'-''-<<===x x y y

y y x y x t t x π

解题过程是：

2. 设∑

是锥面

1)z z =≤≤的下侧，计算曲面积分 d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y

∑

++-⎰⎰..

解题过程是：

.

,),(.的值和数图形有拐点，试确定常处函数的，且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=

解题过程是：

.

)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式：

上连续，且对任意的在设函数422222

222

4+++=∞-∞⎰⎰

≤+

解题过程是：

..之间的最短距离．与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z

解题过程是：

要多少时间？厘米的雪堆全部融化需问高为）系数侧面积成正比，（比例已知体积减少的速率与，

小时设长度为厘米，时间为其侧面满足方程

的雪堆在融化过程中，为时间设有一高为130,9.0)()

()

(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=

解题过程是：

.

86,)1,1,1(632.72

2222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P z

y x u P z y x n

+=

=++

解题过程是：

三、证明题（本题8分）：

.

)()(022)(0)(22)()(4

24

2

的表达式求函数；

，有简单闭曲线内的任意分段光滑

证明：对右半平面的值恒为同一常数，

曲线积分上，

单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数，在围绕设函数y II y x xydy

dx y C x I y

x xydy

dx y L y C L

ϕϕϕϕ=++>++⎰⎰

第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

1. 若0→x 时，1)1(4

12

--ax 与x x sin 是等价无穷小，则

=

a .

.解 当0→x 时，2

4

1

2

41

~1)1(ax ax ---，2

~sin x x x . 于是，根据题设有 1

4141lim sin )1(lim 2204

1

20=-=-=-→→a x ax x x ax x x ，故4.

2. =

+→)

1ln(1

2)

(cos lim x x x .

解 )

1ln(10

2

)

(cos lim x x x +→=

x

x x e

cos ln )

1ln(1

lim

20+→,

而

212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x x

x x x x x x x ，故 原式=.121e e =-

3. 设函数

2

301sin d ,0(),0x t t x f x x

a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.

解 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a

→==，

又因为

220

3

20

0sin d sin 1lim ()lim

lim 33x

x x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 1

3a =.

4.

=

'+'⎪⎭⎫

⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,.

.20sin 202,1,

:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y

x =+=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛='+'∴⎪⎭

⎫ ⎝⎛'+⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎭

⎫

⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解

5.

的解为：

满足微分方程91

)1(ln 2-==+'y x x y y x .

..

91

ln 3109

1

)1(191ln 31]ln [1

]ln [

ln 2

2

222

2x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx e

x e y x y x

y dx

x dx x -==-=+-=

+⋅=

+⎰⋅⎰=

=+'⎰⎰-，故所求通解为：得，

由，于是通解为：

解：原方程等价为：