二次根式的定义
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式的概念和性质
基础知识1、二次根式的定义:我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另一个是-a我们把形如丄的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.2、二次根式的性质（皿戸=“（心0）・兀历当go时，7^=-亿a\a^O\-a[a<0)3、二次根式的积的算数平方根的性质=厲”丽4、最后的计算结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式•注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母•③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数)题型一、二次根式的概念和条件【例1】______ 时.二次根式2有意义*【例2】【.】围内有意义.(〕> \/2J_ I $ (2) 1 ；(3) J工_ ] + y/2—x)(4) J—仝*【分析】令各个二次根式的被幵方數大于或寻于牢•再解之即可.【例3】(宜若中考)F列武子没右意义的楚【例4】<2016 -孕做中君)便二次根式/『一1有意义的J的取值範閘是他心1 B, .r> 1 C,.r<l I).心1【例5】(广州中考)已知| 口一l|十十柠=0・则口一A等于( ) A.—8 B.—6 (\ 6 IX 8【例6】代数式半J的取值范国是题型二、二次根式的性质【例7】计算(1)(73)2 ;(2)75^;(3)(-2 V3)\【例8】（宜宾中考）二次根式丿CF的值是一s选择题（每小题2分■共8分）L （攀枝花中考）已知实数心y满足I T—11 + Jy—8 = 0*则以心的值为两边长的等腰r角形的周长是（）2. （2016 *童庆中考B慧）若二次根式庙=2有意义. 则口的取值范围是（）2 "2B, «<2 C a>2 「I护2B, 3 或一3 D. 3 计算⑵y（-6）2；A. 20 或16C. 16B. 20D以上答案均不对【例9】(3)(—63、化简二肿的结果是( )A. 1-V2B. 72-]C. 士(A/2—I) D t±(1 —臣)4、计算;(1)/19 = ________ ;(2)(y?)2____ ；(3)( —>/7 )2=____ ；(4)—y (—7 V= ______ :(5)( yoTT>2= ______ ；5、■化简± J(2 —岛)'= ；\/(>/3—V2)2—6、(4分)计算；1~9~ . / 7~~<1)(—2 */v1(2)./( —)\\ 3 y47、（梅州中考）使式子二2有慰义的最小整数加是(8分)计算下列各式:(1 ) x/(3* 14 —7T)'；⑶⑷島尺题型三积的算数平方根的性质【例10】七简：⑴ J(一—R ：(2) Ml69『莎・【例11】化简：716X81 =【例12】(2015 -童庆中考丿化简皿的结果是代4松H 2^3 C3V2【例13】化简，阿涵=【例14】计算:⑴』49X144= _______ ；(2) 736%482 = ______题型四二次根式的化简【例题精析】【例2】化简下列二次根式:（【解】〔1）^/27= X3=y?xV3=3V3?【分析】先把橄开旁扳分解丙致或分解因式•然乐杷某些因麵或因或写成平方的形式■再利用积的算札平方碾的H 境化简.=— A/3* 2y=齐>/6y.【点拨】移到根号外的因救克因式必類是非负數*【例15】<2016 •自贵中考｝下列根式中•不址赧简二次根式的楚A. v lo H.报 C.A/6I1V2【例16】化向:J* =【例17】il 算：-/2761【例18】（2016 *临夏中考）下列根式中是虽简二次根式的是V3X * y' v * y一、选择题（每小题3 /共12分）I •下列等式成立的是A t v /4 + 9_=y4+V9B. /(-3)y =-3 7^3C. /(-2)X(-3)= y=3I). %/125'=5752. （2016 -的宪中考）下列计算正确的是3.卜•列运算正确的是 ( ) A* ^5" — 4'=品' —=5 — 4=1Ik y (~16)X(-25) = X /^25 = - 4 X (—5) = 20八 J 「「12「_ 5 丄 12_ 17V 13 13 13 13 13II >/4 ? x 7 = y? X x/7= 4 打(2) /13O J -662= _________（福州中考〉若如t 是整数•则正整数n 的最小值 为 •使/面足整数的最小正整数舁= 7、4、 化简：(1)』225 X4 =A * /12=2IX分）把下列各式化成最简二次根式{8(4) >/ 】• @ •（1） /80；（2）3 \/48；（3）fi 5。
二次根式与实数之间的关系
二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。
实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。
二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。
1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。
对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。
例如，√4 = 2，因为2² = 4。
二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。
2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。
例如，√9 = 3是一个实数。
- 负实数没有实数的二次根式。
例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。
- 实数的二次根式满足乘法性质。
即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。
3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。
例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。
- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。
例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。
4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。
二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。
它们无法用有限小数或循环小数形式表示。
- 无理数的二次根式仍然是无理数。
例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。
综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。
实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
二次根式的基本定义
知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。
根指数省略不写。
不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。
2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。
但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。
、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。
5、式子(a表示的是非负数。
6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。
二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A D2中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6 B．3 C．48 D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0 B．1 C．2 D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。
(a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子有意义的x 的取值范围是变式练习： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：12()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。
通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。
例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。
这些数都是被开方数的平方根。
二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。
例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。
2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。
例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。
三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。
示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。
具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。
例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。
6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。
7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
二次根式
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以 为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请 求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第 例4 无论x取任何实数，代数式 取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？ （1）当x取什么实数时， （2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减： 先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为 满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形 状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式，也称为平方根，是指一个数的平方根，即找出一个数，使其平方等于给定的数。
在代数中，二次根式是非常重要的数学概念。
它们在代数运算、方程求解以及几何形状的计算中都有广泛应用。
本文将介绍二次根式的定义、性质和一些常用的求解方法。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是一个数学表达式，形式为√a，其中a是一个非负实数。
它表示一个数x，使得x的平方等于a。
例如，√4表示一个数x，使得x的平方等于4，因此x等于正负2。
当a是一个负实数时，二次根式通常用i来表示虚数单位。
虚数单位i定义为√-1。
因此，√-9可以表示为3i，因为(3i)^2 = -9。
二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一确定的。
即对于给定的非负实数a，它的二次根式√a只有一个值。
2. 二次根式满足乘法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√(ab)= √a * √b。
3. 二次根式满足除法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
4. 二次根式满足加法和减法运算律。
即对于任意非负实数a和b，有√a ± √b不能进行合并。
三、二次根式的求解方法1. 分解因式法：如果二次根式的被开方数可以分解成两个平方数的乘积，那么可以利用分解因式的方法来求解。
例如，√12可以分解为√(4 * 3)，然后再分别对4和3开方，最后得到2√3。
2. 化简法：可以将二次根式的被开方数进行化简，将其中的一个因子提取出来，并留在根号外面。
例如，√50可以化简为√(25 * 2)，再对25开方得到5，最终得到5√2。
3. 有理化法：当二次根式的被开方数是一个分数时，可以利用有理化方法将其化为无理数。
有理化的方法是在分子和分母上同时乘以一个适当的数，使得分母变为一个有理数。
例如，√(3/5)可以进行有理化，将分子和分母同时乘以√5，得到√(3/5) * (√5/√5)= √15 / 5。
四、结论本文介绍了二次根式的定义、性质和求解方法。
二次根式概念知识点总结
二次根式概念知识点总结一、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是一种形如√a的代数式，其中a为一个实数，且a≥0。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
被开方数a的平方根就是等于a的正实数。
2. 二次根式的特点- 被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
- 二次根式可以是整数、小数、分数或无理数。
- 二次根式可以化简为最简形式，即根号下的被开方数不含有平方因子。
3. 二次根式的分类根据被开方数的性质，二次根式可以分为完全平方数根式和非完全平方数根式两种情况。
完全平方数根式是指被开方数是一个完全平方数的二次根式，非完全平方数根式则是指被开方数是一个非完全平方数的二次根式。
二、二次根式的化简1. 化简方法对于二次根式的化简，主要有以下几种方法：- 求被开方数的因式分解，将根号下的一些平方因子化简出来。
- 利用完全平方公式，将二次根式化为一个完全平方根式。
- 使用等价变形的方法，将二次根式化为最简形式。
2. 化简步骤（1）对于完全平方数根式，只需将根号下的被开方数进行因式分解，并将平方因子提出来，即可将二次根式化为最简形式。
例如：√100=√(2²×5²)=2×5=10（2）对于非完全平方数根式，可以利用完全平方公式将二次根式化为最简形式。
例如：√50=√(25×2)=√25×√2=5√2（3）对于一般的二次根式，可以利用等价变形的方法进行化简。
例如：√72=√(36×2)=√36×√2=6√2三、二次根式的运算1. 二次根式的加减对于二次根式的加减运算，主要是要求二次根式的根号下的被开方数相同，然后分别将二次根式的系数进行加减运算。
例如：√18+2√18=3√182. 二次根式的乘除对于二次根式的乘除运算，可以利用分配律和乘法公式进行运算。
例如：(3√5)×(4√5)=123. 二次根式的混合运算对于二次根式的混合运算，可以根据运算法则依次进行加、减、乘、除等运算，最终得到最简形式的结果。
二次根式知识点总结
知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式的定义及性质
二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。
2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。
5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、 使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是 。
二次根式的概念和性质
一、二次根式的概念和性质二次根式1.0a ≥）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.二次根式的性质：（10； （2）2(0)a a =≥； （3(0)(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，2=二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 二次根式的加减二次根式知识点同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b =+ 分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较 比较大小的方法1．作差法:比较a 、b 的大小，0,0,0,a b a b a b a b >>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩２．作商法：比较a 、b 的大小，当0,0a b >>时，可以采用作商法，1,1,1,a b a a b b a b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法 （1）0a b >>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法=0a ≥，0b ≥）．=（0a ≥，0b >）． 说明：利用乘除法则时注意a 、b a 、b 都非负，否则不成立．一、 单选题1、（2015中考西城二模）函数2y x=-中，自变量的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥ C ．2x > D ．2x ≥-【答案】 B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x -≥，即2x ≥，故答案为B ．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（ ） A ．22=B 16=±C ．8D ．(26=【答案】 A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x 例题A，22=，故A正确；B16，故B错误；C，8-，故C错误；D，(212=，故D错误．所以该题的答案是A．3）A．(1a-B．(1a-C．D．(1a-【答案】B【解析】(=-B选项．1a4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；BCD 故选C ．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式b 那么a 、b 的值分别是（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b = C ．1a =-，1b = D ．1a =，2b =- 【答案】 A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式． ∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得：02a b =⎧⎨=⎩．故选A ．6、下列运算中，正确的个数是（ ）①1251144251=；2=-；③214141161+=+④()442±=-5-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】该题考查的是根式的运算．13111212=；=4，；⑤正确，故只有1个是正确的， 所以本题的答案是B ．7、( )A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【答案】 C【解析】9()x x +是小数部分；则有：()2988x +=，即：2187x x +=，得187x ≈，0.38x ≈，9.39.4～之间，故答案为C 选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a 、b =那么a b -的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：)1==因此可得6,3a b==，故a b-的值是3．方法二：由题知正整数a、b=9a b+-918a bab+=⎧⎨=⎩解得6a=，3b=，故a b-的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．==0．∴43ab=-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．10、实数a、b a的化简结果为______【答案】b-b a该题考查的是代数式化简．由图中可得0a >，0b <，且a b <，则0a b +<a a b a a b a b =++=--+=-．11、=____________=______________． 【答案】25，9 【解析】25==，369+=12、（2013a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=- 解得：1a =±13、（2013．【答案】【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式==14、(2013初一上期末人民大学附属中学+=____【答案】【解析】该题考查根式的分母有理化．++=+=三、解答题15、（2014【答案】【解析】本题考察的是根式的计算．==16、(2013初二上期末门头沟区)【答案】【解析】该题考查的是二次根式计算．原式+2=-17、（2013初二上期中C理工附）（1（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，q m-+【答案】（1）P、M、Q（2）M Q-（3）2Q M-（4）p m-【解析】该题考察的是实数与数轴．（1<P，M，Q；（2）MQdM Q=-；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2Q M-；（4q m-+()22q p m q p q=---+-p m=-18、1()2x yz++，求x、y、z的值．【答案】1,2,3x y z===P MQ【解析】1()2x y z ++得：0x y z ---1(1)1(2)10x y z -+--+--=即：2221)1)1)0++=所以：1,2,3x y z ===19、．【答案】<【解析】1==1=>∴11<- <1、（2015中考平谷一模）函数y =中自变量的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-【答案】 B【解析】根据题意可知，10x ->，即1x >．故选B ．2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A．2a b =+Ba b + C 22a b+D a b =+【答案】 C【解析】因为220a b +≥22a b +，故答案为C 选项．3、（2011中考大兴一模）函数y =中，自变量x 的取值范围是___________【答案】 2x >-【解析】根据题意可知，只需20x +>，即2x >-即可．随堂练习4、实数P____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p <<， ∴20p ->，30p -<， 23231p p p p -+-=-+-=．5、计算：=⨯12172_________，=--)84)(213(_________， =⨯-03.027.02_________，_____________=．【答案】24；0.18-；5-【解析】=，(24⎛--==⎝，20.090.18-=--⨯=-，4335-⨯=-6、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：2____【答案】43x -12 34p【解析】该题考查根式的化简．212x -+∵由题得120x -≥，12x ≤33x x =-=-．∴原式12343x x x =-+-=-． 故答案为43x -．7、设A B ==A ____B ．【答案】 A B >【解析】2A =2B =< ∴22A B< ∴A B >8、（2013初二下期中北京第四中学）已知: 1x =，求223x x +-的值．【答案】 2-【解析】该题考查的是代数式求值．把1x =代入得：原式))21213=+-323=--2=-9、已知：,x y 为实数，且3y ，化简：3y -【答案】1-【解析】 由3y <得：1x =，3y <，所以31634341y y y y y y --+=---=-++-1、（2015中考大兴一模）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤且0x ≠ B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠【答案】 A【解析】根据题意可知，20x -≥，且0x ≠．解得2x ≤，且0x ≠． 2、若A （ ）A ．24a +B ．22a +C ．()222a +D ．()224a +【答案】 A 【解析】 因为()224A a+24a =+，故答案为A 选项．3、（2015中考西城二模）若2(2)0m ++ 则m n -= ．课后作业【答案】 3-【解析】因为2(2)0m +=，所以2m =-，1n =，故3m n -=-．4、在下列二次根式中，最简二次根式有____________________．【答案】【解析】由最简二次根式的定义可知是最简二次根式．5、（2012初二上期末通州区）若最简二次根式a =__________【答案】 4【解析】本题考查的是最简二次根式的定义．∴3530a a -=+≥，解得4a =．6、0，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．000=0=0．∴43a b =-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．7、（2013初二下期中北京第四中学）12．（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．102==>102->，12>．8、(2013初二下期末清华大学附属中学)01)【答案】 011+=0……5分9、化简：（1（2【答案】（11（2【解析】（11=（2===。
二次根式
二次根式一、定义1.二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
说明：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个带有字母的式子，但必须注意a ≥0是a 为二次根式的前提；（3）形如b （a ≥0）的式子也是二次根式b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时，不能写成带分数的形式。
二、性质1.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
（2）（a ）2=a （a ≥0）；即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
（3）==a a 2 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
2、典型例题例1、如果 是二次根式，那么m,n 应满足的条件是（ ）例2、求下列二次根式中字母的取值范围例3、 - ； =例4、如果a+ =1，那么a 的取值范围是（）。
例5、若化简|1-x|- 的结果是2x-5，则x 的取值范围是（） 例6、要使式子有意义，则M 的取值范围是( )a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；例7、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）例8、已知a,b为两个连续的整数，且a>则a+b=( )例9、 + =( )例10、=·成立的条件是（）+|x+y-2|=0,则x-y=（）例11、如果=成立，那么（）A. m≥3B. m﹥3C.0≤m≤3D. m≥0例12、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例13、x为何值时，在实数范围内有意义（）A. x>1B. x<0C. x≥1D. x≤0例14、 =3-a,则3与a的大小关系是( )A. 3>aB. 3<aC. 3≥aD. 3≤a例15、如果x<-4，那么|2- |的值是( )A. 4+xB. -xC. -4-xD. x例16、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A. m=0B. m=1C. m=2D. m=3三、化简、运算1、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；此法可推广到多个二次根式相乘的情况即 · ·= （a ≥0，b ≥0，c ≥0）b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
二次根式的乘法
二次根式的乘法二次根式是数学中的一种特殊形式，指的是具有平方根的算术表达式。
在代数中，我们经常需要进行二次根式的乘法运算，本文将详细介绍二次根式的乘法方法和相关的计算规则。
一、二次根式的定义二次根式指的是形如√a的算术表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式也可以写成更一般的形式，如a√b，其中a和b都是实数，且b 不含平方因子。
二、二次根式的乘法规则1. 相同根指数相乘当两个二次根式具有相同的根指数时，它们可以相乘。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 不同根指数相乘当两个二次根式具有不同的根指数时，我们可以将它们转化为相同的根指数，然后再进行相乘。
例如，√2 × ∛3可以转化为∛2 ×∛(3^2) = ∛(2 × 3^2) = ∛18。
3. 分解因式相乘对于复杂的二次根式，我们可以将其进行因式分解，然后再进行相乘。
例如，√8 × √50可以分解为√(2^3) × √(2 × 5^2) = √(2^4 × 5^2) =√(400) = 20。
4. 乘法的交换律和结合律二次根式的乘法满足乘法的交换律和结合律。
也就是说，a√b × c√d = c√d × a√b= ac√bd。
例如，2√3 × 4√5 = 4√5 × 2√3 = 8√15。
三、习题示例下面我们通过一些习题来加深对二次根式的乘法规则的理解：1. 计算√2 × √8 × √18。
解：首先，将√2 × √8 × √18 转化为√(2 × 8 × 18)。
然后，进行乘法运算得到√(288)。
再进一步分解为√(2^5 × 3^2)，可以简化为12√2。
2. 计算√3 × ∛(√5)。
解：首先，将√3 转化为√(3^2)，得到√(9 × √5)。
教学重点二次根式的基本概念与性质
教学重点二次根式的基本概念与性质二次根式（Quadratic Root）是数学中的一个重要概念。
它是指形如√a的数，其中a为非负实数。
本文将详细介绍二次根式的基本概念和性质。
一、二次根式的定义和基本概念二次根式是指具有形式√a（或简称根号a）的数，其中a为非负实数（即a≥0）。
根号符号表示一个非负实数的非负平方根。
例如，√4=2，√9=3。
二次根式有以下几种形式：1. 普通二次根式：形如√a的根式，其中a为非负实数。
例如，√4=2，√5等。
2. 分数二次根式：形如√(a/b)的根式，其中a为非负实数，b为正实数。
例如，√(4/9)等。
二、二次根式的性质二次根式有以下基本的性质：1. 二次根式的值为非负实数，即√a≥0。
2. 当a≥b时，√a≥√b。
即，较大的数的二次根式大于较小的数的二次根式。
3. 二次根式的平方等于它的被开方数。
即，(√a)²=a。
例如，(√4)²=4。
4. 若a≥0，则(√a)·(√a)=a。
即，二次根式与自身相乘等于它的被开方数。
例如，(√5)·(√5)=5。
5. 二次根式的乘法可以化简。
例如，√2·√3=√(2·3)=√6。
除了以上的基本性质外，二次根式还有一些特殊的性质：1. 二次根式的加减法不可合并。
例如，√2+√3是一个二次根式，无法合并成一个较简单的形式。
2. 可以对二次根式进行有理化处理。
有理化是指将含有二次根式的式子转化为不含二次根式的式子。
例如，对√(2/3)进行有理化处理，可以得到(√2)/(√3)。
三、二次根式的应用举例二次根式广泛应用于数学和物理的各个领域。
以下是一些常见的应用举例：1. 平方根的距离计算：当我们需要计算两个点之间的距离时，会使用到平方根。
例如，两个坐标点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)之间的距离可以表示为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
2. 几何问题的求解：二次根式在几何问题中经常出现，例如计算三角形的边长、面积等。
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。