三次Bezier曲线的实现方法

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

一、原理：

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：

。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

。

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即

。

例如：

。

如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有

即多项式

又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。

点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q 0 和 Q 1 作为由 0 至 1 的 t ：

∙ 由 P 0 至 P 1 的连续点 Q 0，描述一条线性贝塞尔曲线。 ∙ 由 P 1 至 P 2 的连续点 Q 1，描述一条线性贝塞尔曲线。

∙ 由 Q 0 至 Q 1 的连续点 B(t )，描述一条二次贝塞尔曲线。 ∙

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q 0、Q 1、Q 2，和由二次曲线描述的点 R 0、R 1 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q 0、Q 1、Q 2、Q 3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R 0、R 1、R 2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S 0、S 1 所建构：

P(t)=(1-t)P0+tP1 ,。

矩阵表示为：

，。

P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,。

矩阵表示为：

，。

P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3

矩阵表示为：

，。

（6－3－2）

，。

在（6－3－2）式中，M n+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。

（6－3－3）

。

其中，

利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：

，

可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：

（6－3－4）

二、算法（c++）

工程目录是:Win32App

vc6.0

#include

#include

#include

#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM); int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)

{

MSG msg;

static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");

HWND hwnd;

WNDCLASS wc;

wc.cbClsExtra =0;

wc.cbWndExtra =0;

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(HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);

wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);

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if(!RegisterClass(&wc))

{

MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框

"),MB_ICONERROR);

return 0;

}

hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,

WS_OVERLAPPEDWINDOW,