2012年全国高考1卷理科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A ） 12种 （B ） 10种 （C ） 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-
其中真命题为
(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p
（4）设12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为
直线32
a
x =
上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为
(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45
（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=
(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥
和实数12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）
2
A B
+为12,,...,N a a a 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数
（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某
几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2
16y x =的准线交于,A B 两点，
||43AB =，则C 的
实轴长为
（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 （9）已知0ω>，函数()sin()4f x x π
ω=+
在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1
(0,]2
(D)(0,2]
（10）已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-，则()y f x =的图像大致为
（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为O
的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为
(A)
26 (B)36 (C)23 (D)22
（12）设点P 在曲线12
x
y e =
上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 (A)1ln 2- (B)2(1ln 2)- (C)1ln 2+ (D)2(1ln 2)+
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b 夹角为45°，且||1,|2|10a a b =-=，则b =____________.
（14）设,x y 满足约束条件1,3,0,0,
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件
正常工作，则部件正常工作。

设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
2(1000,50)N ，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的
概率为_________________.
(16)数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2a =，ABC ∆3，求,b c .
（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式;
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n
14
15
16
17
18 19 20
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥。

（1） 证明：1DC BC ⊥；
（2） 求二面角11A BD C -- 的大小.
（20）（本小题满分12
分）
设抛物线2
2(0)C x py p =>：的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.
（1） 若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程；
（2） 若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共点，求坐标原点到
,m n 距离的比值.
（21）（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足1
21
()(1)(0)2
x f x f e
f x x -='-+.
（1） 求()f x 的解析式及单调区间； （2） 若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明： （Ⅰ）CD BC =；
G
F
E
D
C
B A
B 1
C 1
A 1
D
C A
B
（Ⅱ）BCD GBD ∆∆∽
（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式2cos 3sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
坐标系，曲线2C 的极坐标方程式2ρ=.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为2,
2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.
（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =++-
（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]求a 的取值范围.
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）【解析】选A
甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种
（3）【解析】选C 22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--
1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
（4）【解析】选C
∆21F PF 是底角为30的等腰三角形2213
32()22
4
c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）【解析】选D
472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-
（6）【解析】选C （7）【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11
633932
V =⨯⨯⨯⨯= （8）【解析】选C
设2
2
2
:(0)C x y a a -=>交x y 162
=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --
得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔= （9）【解析】选A
592()[,]4
4
4
x πππ
ωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D
351()[,]4
4
4
x πππ
ωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C
另：()22π
ωππω-
≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππ
ωωπω+∈++⊂ 得：315
,2424224
πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤
（10）【解析】选B
()ln(1)()1()010,()00()(0)0
x g x x x g x x
g x x g x x g x g '=+-⇒=-
+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）【解析】选A
ABC ∆
的外接圆的半径r =
O 到面ABC
的距离d == SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC
的距离为2d =
此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=
⨯==
另：123ABC V S R ∆<
⨯=
排除,,B C D （12）【解析】选A 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒=
由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d =-
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）【解析】_____b
=
2
2
210(2)1044cos 451032a b a b b b b ︒-=⇔-=⇔+-=⇔=
(14) 【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C
则2[3,3]z x y =-∈-
（15）【解析】使用寿命超过1000
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2
(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
131(1)4
P p =--=
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213
8
p p p =⨯= （16）【解析】{}n a 的前60项和为 1830
可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）【解析】（
1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔-=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔
-=⇔-=
⇔-=⇔=
（
2）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 解得：2b c ==（l fx lby ）
18.【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-
得：1080(15)
()80
(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨
≥⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======
222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯= （ii ）购进17枝时，当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得：应购进17枝
（19）【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒
∠=⇒∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则1C O =
111230C D C O C DO ︒
==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒
（20）【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l 的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p
F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,)2p A
，直线:02p m y x x =
+⇔=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点)6p
P
直线:06p n y x x p -
=⇔-= 坐标原点到,m n
3=。

（21）【解析】（1）12
11()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 12
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得：2
1()()()12
x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x
g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+
第 11 页 共 13 页 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>
令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<
<⇔>
当x =max ()2e F x =
当1,a b =-=时，(1)a b +的最大值为
2e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒= //CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔=
（2）//BC GF BG FC BD ⇒==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆
（23）【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636
π
πππ 点,,,A B C D
的直角坐标为1,1)--
（2）设00(,)P x y ；则00
2cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222
224440t PA PB PC PD x y =+++=++
25620sin [56,76]ϕ=+∈（lfxlby ）
（24）【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥ 2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323
x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
30a ⇔-≤≤。