数学北师大版八年级上册三角形的外角和

．关注三角形的外角

洋县湑水初中曹海鲤

知识与技能目标：（1）掌握三角形外角的两条性质；

（2）进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．

（3）灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

数学能力目标：进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。情感与态度目标：通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．

教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上．

(2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

②两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？

问题2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：

推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例1、已知：∠BAF ，∠CBD ，∠ACE 是△ABC 的三个外角．

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．

证明：(略)．

例2、已知：D 是AB

上一点,E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，

∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

第三环节：课堂练习

活动内容：

① 已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ．求证：AD ∥BC 分析：要证明AD ∥BC ,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE =∠B .

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠B =2

1∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAE =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAE =∠B （等量代换）

∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAC =∠C （等量代换）

∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAC =21∠EAC ∴∠DAC =∠C （等量代换） ∵∠B +∠BAC +∠C =180° ∴∠B +∠BAC +∠DAC =180°

B A

C

D

E

即：∠B +∠DAB =180°

∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）

② 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．

证明：∵∠1是△ABC 的一个外角（已知）

∴∠1>∠ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知）

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） ③.如图，求证：（1）∠BDC >∠A .

（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A

.

如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论

.

证法一：（1）连接AD ，并延长AD ，如图，则∠1是△ABD 的一个外角，∠2是△ACD 的一个外角.

∴∠1>∠3.

∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）

A B

C D E

1

F

2