1-5-2 行列式的性质
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１－５－２ 行列式的性质及计算
一、行列式的基本性质
对方阵Ａ，称ＡＴ
的行列式为A 的转置行列式。
１、T
A ＝A ，即)det(T A ＝)det(A 。
如：
d
c b a ＝
d
b c
a ＝ａｄ－ｂｃ。
作用：凡对行列式行成立的性质，对列也成立。 ２、每次对换两行（列）的位置，行列式反号。
如：
b
a d c ＝－
d
c b a ＝ｂｃ－ａｄ。
若方阵Ａ−−
−−−→−）
（列对换一次行Ｂ，则Ａ＝－Ｂ。 若方阵Ａ−−−−−→−）
（ｔ列次对换行作Ｂ，则Ａ＝（－１）ｔ
Ｂ。
３、若方阵Ａ中有两行（列）相同，则Ａ＝０。
证明：设Ａ中第ｉ行与第ｊ行相同，对换ｉ，ｊ两行得：Ａ＝－Ａ，所
以２Ａ＝０，得Ａ＝０。
４、 （ｉ）nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a
21
21
112
11
＝ｋnn
n n in i i n a a a a a a a a a
21
2111211（ｉ） 例如：
d
c b
a 22＝２
d
c b a ＝
d
c b
a 22。
即：若方阵Ａ−−
→−i r
k )(Ｂ，则Ｂ＝ｋＡ，其中，数ｋ≠０。 注意：数乘行列式ｋＡ，与数乘矩阵ｋＡ的区别。如：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d c b a k ＝kd kc kb ka ＝ｋ２
d c b a ≠ｋd c b a 。 推论１：对ｎ阶方阵Ａ，有kA ＝A k n 。 作业：Ｐ７６ １（２）
推论２：若Ａ中有零行（列），则det （A ）＝０。
证明：据行列式定义知，Ａ中每一项均为０，故代数和为０。 推论３：有两行（列）成比例的行列式值为零。
例如：9
2136202
3
191＝０ ［第１列和第３列成比例］
５、单行（列）可分性：［Ｐ４２ ６－１９行］
（ｉ）nn
n n in in i i i i n
a a a c
b
c b c b a a a
2
1
221
1112
11
+++ ＝（ｉ）nn n n in i i n
a a a
b b b a a a
21
21
11211＋nn n n in i i n a a a c c c a a a
21
2111211（ｉ）
注意：行列式相加与矩阵相加的不同。如： ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++++2121212
1d d c c b b a a ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111
d c b a ＋⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡22
22
d c b a 。但是
2
12
12121d d c c b b a a ++++＝
211211d d c b b a ++＋
2
12
212d d c b b a ++
＝
1
1
11d c b a ＋
2
1
21d c b a ＋
1
2
12d c b a ＋
2
2
22d c b a ≠
1
1
11d c b a ＋
2
2
22d c b a 。
作业：Ｐ５３ 思考题３
Ｐ７３ １６（１） Ｐ７８ ３（３）
６、可消性：把某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
即：方阵Ａ−−
→−+j
i r
kr Ｂ，则Ａ＝Ｂ。
证明：Ｐ４２ －８行至Ｐ４３ １０行。 ７、设Ａ，Ｂ为同阶方阵，则AB ＝Ａ
Ｂ。
设Ａ１，Ａ２，……，Ａｍ都是同阶方阵，则m A A A 21＝m A A A 21。 ８、据Ｐ４３ －８行至－１行知：
方阵Ａ−−−−→−一次初等变换Ｂ，则Ａ＝ｋＢ
，其中ｋ是非零常数。
方阵Ａ−−−−−−→−｀｀
做若干次初等变换Ｂ，则Ａ＝λＢ
，其中λ是非零常数。
于是
Ａ≠０⇔Ｂ≠０； Ａ＝０⇔Ｂ＝０
即初等变换不改变方阵的行列式等于或不等于零的性质。
二、用行列式的性质计算行列式的值
例1.15 ［Ｐ４４－４５］ ＂三角化法＂
解： Ａ＝17232542131131054------ ＝－1
72325423
10541
311------
＝－2210012012101311------- ＝－3400230012101311----
＝－
3
1
00230012101311----＝１。
例1.16 ［Ｐ４５－４６］
解１：Ａ＝5938193921101028189＝59019
39199910102809-
＝199959
19
39110102809-＝199959019010
28
9
-＝19992
0190101
9
- ＝1999（－１８＋１９）＝1999。
解２： ［展开降阶］ 例1.17 ［Ｐ４６］
a
b b b b b a b b b b b a b b b b b a b b
b b b a 观察：）（）（：）（：
行加到某一列行其余各列方法元素之和相等列每一行特点阶数 ＝a
b b b b a b b b b a b b b b a b
b b b b a 11111)4(+ 观察：：：：
方法特点阶数
＝b
a b a b a b a b b b
b
b a ----+0000
00000
00
000
01
)4(＝4))(4(b a b a -+。
例1.18 ［Ｐ４７］
证明：
Ｄ＝2
2
2
2
2222
2222
2222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a ＝9
644129
64
4129
644129644122
2
2
2
++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a