变压器的数学模型及等效电路分析方法

N34 N12
)

(
N122lm
)i12
]
u34 r34i34 pL12m (i34 i12 ) pL34li34
17
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
于是联立的方程组转化为：
uu1324

r12i12 r34i34

pL12m (i34 pL12m (i34
iA + uA -
ia + ua -
f2
iB + uB -
ib + ub -
f3
iC + uC -
ic + uc -
f1 iA
iCA ia
+ ua -
f2 iB
iAB ib
+ ub -
f3 iC
iBC ic
+ uc -
n
Y/Y接
n
D/Y接
【注意】三相三芯柱变压器有： f1+f2+f3=0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
i
i
Lm Lleak
9
1. 磁路与电感
变压器数学建模的方法
– （1）电压方程 – （2）磁链方程 – （3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立 – （4）绕组折算（坐标变换） – （5）画等效电路图
比电机的数学模型少转矩方程
10
2. 单铁芯双绕组 变压器数学模型
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
23
4. 三相多芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
iA + uA -
ia + ua -
f2
iB + uB -
ib + ub -
f3
iC + uC -
ic + uc -
f1 iA
iCA ia
+ ua -
f2 iB
iAB ib
+ ub -
f3 iC
iBC ic
+ uc -
n
Y/Y接
n
D/Y接
【注意】三相多芯柱变压器有： f1+f2+f3≠0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
– 单பைடு நூலகம்变压器，不需要坐标变换
三个绕组之间连接关系如何？
– 串联？ – 并联？ – 其他？
i12 1 2
i34 3 4
i56 5 6
20
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
等效电路
三个绕组为并联关系
21
4. 三相三芯、多芯 柱变压器数学模型
4. 三相三芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
24
5. 电力电子仿真 软件中的变压器
5. 电力电子仿真软件中的变压器
以PSIM为例（Matlab类似）
– Single-phase transformer
26
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer
27
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer (1 primary and 2 secondary windings)
i34 3 4
14
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
将用磁导和线圈匝数表示的L12、L34和Lm带入磁链方程：
y

12

( N122 lm

l N 2 12 12l
) i12
L12

(N12 N l 34 m ) i34
Lm
1
i12
i34 3

y 34

( N324 lm

N324l34l ) i34

2
(N12 N l 34 m ) i12
4

L34
Lm
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
e12

dy 12
dt
e34

dy 34
dt
15
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
u12 u34

r12i12 r34i34

p[( N122 lm

l N 2 12 12l
)i12

(N12 N34lm )i34 ]
p[( N 324 lm

l N 2 34 34l
)i34

(N12 N l 34 m
)i12 ]
（4）绕组折算（坐标变换）
– 【公式：折算到x绕组则y绕组的电压方程两端乘以Nx/Ny】 – 以折算到12绕组为例，上面第二方程两端乘以N12/N34，则有：
5
1. 磁路与电感
法拉第电磁感应定律
– 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的磁感应电
动势e与磁通量f对时间的变化率成正比：
e df
dt
– 当由N匝线圈构成时，感应电动势为：
e N df d (Nf) dy
dt
dt
dt
– y称为磁链
6
1. 磁路与电感
16
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（4）绕组折算（坐标变换）
N12 N34
u34

N12 N34
r34i34

p[N122 (N l 34 m

N34l34l )i34

(N122lm )i12 ]
[(r34
N122 N324
)(i34
N34 )] N12
p[( N122 lm

N122l34l )(i34
（1）电压方程（原副边）
uu1324

r12i12 r34i34
e12 e34
（2）磁链方程（原副边）
y y
12 34

L12i12 L34i34
Lmi34 Lmi12
i12 1 2
i34 3 4
L12为12绕组自感，L34为34绕组
自感，Lm为12和34绕组之间的互 感。这三个电感需要进一步表示。
H B/
– 磁场强度沿任意闭环路径L的环路积分等于路径L所包围的电流强度 的代数和
L H dl i
4
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 假设右图中磁场均匀则沿l对H积分有：
B l f l Ni A
– 或者：
f Rm

f l

F
– Rm：磁阻
– lA/l：磁导
– F：磁动势
12
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
L12为12绕组自感：
L12 L12m L12l

N122lm

l N 2 12 12l
L34为34绕组自感：
L34 L34m L34l

N324lm

l N 2 34 34l
i12 1 2
i34 3 4
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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
i12 ) i12 )
pL12l i12 pL34l i34
单相变压器不需要坐标变换 （5）画等效电路图
i12 1 2
i34 3 4
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3. 单铁芯多绕组 变压器数学模型
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
同样按照前面五个步骤 绕组折算公式也相同
– 折算到x绕组则y绕组的电压方程 两端乘以Nx/Ny
电感
– 任两点间与另外一电流之间的互感L由下式定义：
e L di dt
– 又因为： – 故有：
e dy
dt
y Li
7
1. 磁路与电感
电感
– 对于右图，假设磁场线毫无泄露地在铁芯中闭合，则有：
L y Nf N 2f
i i Ni
N 2f N 2f

F (f / l) N 2l
Lm为12和34绕组之间的互感：
– 假设34绕组加电流i34，而i12 =0，环 绕铁芯一圈对磁场强度积分或者认
为磁动势F34产生了主磁通，则有：
Lm
y 12 _ 34
i34

N12fm
i34
i12 1 2
N12 (F34lm )
i34
N12 (N34i34lm )
i34
N12 N l 34 m
磁感应强度与磁通
– 垂直穿过单位面积的磁力线叫做磁通量密度，简称磁通密度，它从 数量上反映磁力线的疏密程度。磁场的强弱通常用磁感应强度“Ｂ” 来表示
– 磁通，又称磁通量，是通过某一截面积的磁力线总数，用f表示， 单位为韦伯（Wb）
f A B dA
3
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 磁场强度定义为
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
31
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
– 可见电感与线圈匝数的平方成正比，与是否通有电流无关
8
1. 磁路与电感
漏感
– 除去铁芯外，实际上一部分磁场线在线圈与空气之间形成闭合回路， 这部分磁链对应的电感为漏自感；对于变压器来说，这部分磁通没 有与原副边绕组同时链绕，称为漏感。
– 对于右图来说有：
L y y m y leak
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
李子欣 2015.03.31
Outline
1. 磁路与电感 2. 单铁芯双绕组变压器数学模型 3. 单铁芯多绕组变压器数学模型 4. 三相三芯、多芯柱变压器数学模型 5. 电力电子仿真软件中的变压器
1
1. 磁路与电感
1. 磁路与电感
28
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer (1 primary and 2 secondary windings)
29
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
30
5. 电力电子仿真软件中的变压器