(完整word版)高一数学《函数的对称性》知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是

f+f=2b

证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f

即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。

（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f

∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。

推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0

定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f

（证明留给读者）

推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，

∴f+f=2c，用2b－x代x得：

f+f[2a－]=2c………………（*）

又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，

∴f=f代入（*）得：

f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：

f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。

定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P是y=f图像上任一点，则y0=f。记点P关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f之中得x1－a=f∴点P'（x1，

y1）在函数x－a=f的图像上。

同理可证：函数x－a=f的图像上任一点关于直线x－y=a 的轴对称点也在函数y=f的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f的图像与x=f的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f为偶函数，且f=f,则f一定是（

）（第十二届希望杯高二第二试题）

是偶函数，也是周期函数

是偶函数，但不是周期函数

是奇函数，也是周期函数

是奇函数，但不是周期函数

解：∵f为偶函数，∴f=f.

∴f有两条对称轴x=5与x=10，因此f是以10为其一

个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f的对称轴，因此f 还是一个偶函数。

故选

例2：设定义域为R的函数y=f、y=g都有反函数，并且f和g-1函数的图像关于直线y=x对称，若g=1999，那么f=（）。

（A）1999；（B）XX；（c）XX；（D）XX。

解：∵y=f和y=g-1函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1反函数是y=f，而y=g-1的反函数是:y=2+g,∴f=2+g,∴有f=2+g=XX

故f=XX,应选（c）

例3.设f是定义在R上的偶函数，且f=f,当－1≤x≤0时，

f=－x，则f=_________

（第八届希望杯高二第一试题）

解：∵f是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f对称轴；

又∵f=f∴x=1也是y=f对称轴。故y=f是以2为周期的周期函数，∴f=f=f=f=0.3

例4.函数y=sin的图像的一条对称轴的方程是（

）

x=－

x=－

x=

x=

解：函数y=sin的图像的所有对称轴的方程是2x+

=k+

∴x=

－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－

故选

例5.设f是定义在R上的奇函数，且f=－f,当0≤x≤1时，

f=x，则f=（

）

0.5

－0.5

1.5

－1.5

解：∵y=f是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f=－f=f，即f=f，∴直线x=1是y=f对称轴，故y=f是周期为2的周期函数。

∴f=f=f=－f=－0.5故选