宁夏银川市第二中学2020届高三数学一模试题文(含解析)

x y 1
由
x
y
1
，解得
C
(1,
0)
，
代入目标函数 z x 2 y ， 得 z 120 1 目标函数 z x 2 y 的最大值是 1．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
10.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为V1 、V2 、V3 ，若它们的表 面积相等，则V12 :V22 :V32 （ ）
则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的 是_______(填 A、B、C、D) 【答案】AD
【解析】
【分析】
对选项逐个分析，即得答案.
【详解】对于 A 地，因为中位数为 2，极差为 5，所以最大值为 2 5 7 ，满足每天新增疑 似病例不超过 7 人，故 A 地符合；
对于 B 地，若过去 10 日分别为 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2,8 ，满足总体平均数为 2，众数为 2，但
14.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感
染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，A、B、C、D 四地新
增疑似病例数据信息如下：
A 地：中位数为 2，极差为 5；
B 地：总体平均数为 2，众数为 2；
C 地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； D 地：总体平均数为 2，总体方差为 3.
y
ln
x
到直线
l
:
y
1 e
x
1
的
最小距离，即可得到本题答案.
a ln b, c 1 d 1
【详解】由题，得
e
，
设
(b,
a)
是曲线
C
:
y
ln
x
的点，
(d,
c)
是直线
l
:
y
1 e
x
1
的点，
a c2 b d 2
可看成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方，
对
y
ln
x
求导得
y
1 x
，令
R2 3 : 4 2
r2
3
:
a2
3
16 9
2
S 4
3
:
4
2
S 6
3
:
S 6
3
6:4:
.
故选： C .
【点睛】本题考查球、圆柱、正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题.
11.设抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F,抛物线 C 与圆 C : x2 ( y 3)2 3 交于 M,N
y
1 e
，得
x
e
，
所以曲线 C 上的点 (e,1) 到直线 l 的距离最小，
该点到直线 l 的距离为
|111|
1 e
2
(1)2
1
1 e2
1
e 1 e2
，
因此 (a c)2 (b d )2 的最小值为
e 1 e2
2
e2 1 e2
.
故选：D
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.
a b a b cosa,b b cosa,b
10
3
3
10 .
即 a b 的最大值为 3.
故选： C .
【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属于基础题.
y 2
x y 1
9.若
x,
y
满足约束条件
x
y
1
，则
z
x
2y
的最大值为（
）
A. 5
B. 1
C. 1
D. 2
【答案】B
满足
ea1 b
c 1 d
1 e
a c2
，则
b d 2
的最小值为（
）
e2 1 A. e
e2 1 C. e2
【答案】D
【解析】
【分析】
e B. e2 1
e2 D. e2 1
设
(b,
a)
是曲线
C
:
y
ln
x
的点，
(d
,
c)
是直线
l
:
y
1 e
x
1
的点，
a
c
2
b
d
2
可看
成曲线
C
上的点到直线
l
上的点的距离的平方，通过求函数
程求出参数 p ，可得 F 点坐标，从而得三角形面积．
【详解】由题意圆 C 过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为 M ，如图，
CM CN
由于
3 MN
，
6
，∴ CM
CN
CMN
，∴
4
NOx
，
4
，
∴点 N 坐标为 (
3,
3) ，代入抛物线方程得 (
3)2 2 p
3， p
3 2，
F(
5
则 a=
1
A. 6
B. 4
C. 2
D. 2
【答案】D
【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 a 的方程求解.
e c 【详解】 ∵双曲线的离心率 a
5 ，c
a2 1 ，
a2 1 5
∴a
，
a1 解得 2 ，
故选 D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a,b,c 的关系，方程的数学思想等
【详解】作 AD BC ，垂足为 D ，如图所示
BD 由几何概型可知，∠AMB≥90°的概率等于 BC .
BAC 90, AB 1, BC 2,B 60 ，
BD AB cos 60 1 1 1 2 2.
1
AMB
90
的概率为
BD BC
2 2
1 4
.
故选： A .
【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 正确；
（2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.正确；
（3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与 α 斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
B.
1, 0, 2,3
C.
D.
0,1, 2,3
【答案】A 【解析】
M x | x 12 9, x R x | 2 x 4, x R
M N x | 2 x 4, x R2, 0,1, 2, 4 0,1, 2
选A
2.若复数
a
i
1
i
在复平面上所对应的点在实轴上，则实数
a
（
A 2
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
【详解】由
z
x
2
y
得
y
1 2
x
z 2
，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） :
y 1x z 平移直线 2 2 ，
y 1x z
y 1x z
由图象可知当直线 2 2 ，过点 C 时，直线 2 2 的截距最小，此时 z 最大，
宁夏银川市第二中学 2020 届高三数学一模试题 文（含解析）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
M
1.已知集合
x | (x 1)2 9, x R
，
N
2, 0,1, 2, 4 ，则
M
N
（
）
0,1, 2
A.
{- 1, 0,1, 2}
【详解】设第 n 行视标边长为 an ，第 n 1 行视标边长为 an1
an1
由题意可得：
10 10an
an an1
1
10 10
则数列
an
1
为首项为 a ，公比为10 10 的等比数列
1 91
4
a9 a 10 10 10 5 a
即
4
则视力 4.9 的视标边长为10 5 a
故选：C
f x cos4 x sin4 x
5.已知函数
,下列结论中错误的是( )
A. f x cos 2x
B. 函数 f x的图象关于直线 x 0 对
称
C. f x的最小正周期为
D.
f
x 的值域为
2,
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得 f (x) cos 2x ，利用余弦函数
【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.
7.函数
y
ln
cos
x
2
x
2
的图象是（
）
9
D. 10 10 a
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令
t
cos
x
，则
t
1在
2
,
2
恒成立，从而
y
ln
t
0
在
2
, 2
恒成立，即得答案.
【详解】令 t
cos
x
，则
t
1
在
2
,
2
远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“E”的
边长都是下方一行“E”边长的 10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a ，则视力 4.9 的视标边
长为（ ）
4
A. 105 a
【答案】C
9
B. 1010 a
4
C. 10 5 a
【解析】 【分析】 根据等比数列的性质求解即可.
∴
3
4
, 0) SFMN
，
1 2
MF yN
1 2
3 4
33 8．
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点 O 是其中一个交点，从而 MNC 是等腰直角三角形，于是可得 N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲
线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
12.已知实数 a, b,c, d
两点,若| MN | 6 ,则 MNF 的面积为( )
2 A. 8
3 B. 8
32 C. 8
32 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆 C 过原点，知 M , N 中有一点 M 与原点重合，作出图形，由 CM CN 3 ，
MN 6 ，得 CM CN ，从而直线 MN 倾斜角为 4 ，写出 N 点坐标，代入抛物线方
B. 1
C. 1
【答案】B
）
D. 2
【解析】
【分析】
由题意可知，复数 a i1 i是实数，可得 a 值. 【详解】复数 a i1 i a 1 a 1i 在复平面上所对应的点在实轴上，
a 1 0,a 1 .
故选： B .
【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.
3.已知双曲线
x2 a2
y2
1 （a＞0）的离心率是
不满足每天新增疑似病例不超过 7 人，故 B 地不符合；
对于 C 地，若过去 10 日分别为 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 9 ，满足总体平均数为 1，总体方差大于
的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．
【详解】解：由 f (x) cos4 x sin4 x (cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x) cos 2x ，故 A 正确；
由定义可知 f (x) cos 2x 为偶函数，故 B 正确；
由周期公式可得
f
(x) 的最小正周期为： T

恒成立，
y
ln
t
0
在
2
,
2
恒成立，结合图象，可知答案为
A
.
故选： A .
【点睛】本题考查对数函数和三角函数，属于基础题.
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从 A, B, C, D 四点中任取两个点作为向量 b 的始点和
终点，则 a b 的最大值为（ ）
A. 1
B. 5
C. 3
【答案】C
A. 6 : 2 :
B. 3 : 2 :
C. 6 : 4 :
D. 3 : 2 :
【答案】C
【解析】
【分析】
设球的半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，正方体的棱长为 a ，由它们的表面积相等，令表面
R2 S ,r2 S ,a2 S
积为 S ，可得
4
6
6 .再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即得.
【解析】
【分析】
D. 10
根据向量数量积的几何意义可知，向量 b 在向量 a 方向上的投影最大时， a b 取最大值.
a 1
【详解】由题意知
，
a b a b cosa,b b cosa,b
，
a
b
取最大值时，向量
b
在向量
a
方向上的投影
b
cosa, b
最大.
由图形可知，当 b AC 时，向量 b 在向量 a 方向上的投影最大.
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在 BC 边上任取一点 M，则∠AMB≥90°的概
率为（ ）
1 A. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
1 B. 3
2 C. 4
2 D. 3
BD 作 AD BC ，垂足为 D .由几何概型可知，∠AMB≥90°的概率等于 BC .
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
【答案】如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m 或如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.
【详解】设球的半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，正方体的棱长为 a ，
由它们的表面积相等可得 4 R2 6 r2 6a2 ，令表面积为 S ，
R2 S ,r2 S ,a2 S
则 4
6
6.
V12
: V22
: V32
4 3
R3
2
:
r2 2r
2
:
a3
2 16 2 9
2 2
，故 C
正确；
由余弦函数的性质可得 f (x) cos 2x 的值域为[1 ，1] ，故 D 错误；
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的 余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性 质，属于基础题．
6.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数