第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较
无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限
第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。
无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。
若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。
且若函数是无穷大，则函数必无极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。
如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。
显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。
共有21种无穷大的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。
❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限 无穷小比较
课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ， （2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ， 所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证 由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义 数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证 只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1． （8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解 令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2） 在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解 令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解 令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节 无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义 设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ） （x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证 因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解 因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解 当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===， 所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。
青岛理工大学高等数学练习教程答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。
(完整word版)高等数学D
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
两个重要极限
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
《车身工程应用数学基础》(课程代码：01891)课程考试大纲
广东省高等教育自学考试《车身工程应用数学基础》（课程代码：01891）课程考试大纲目录一、课程性质与设置目的二、考试内容与考核目标第一章函数极限与连续第一节函数的概念与基本性质第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷大量与无穷小量第五节极限的运算法则第六节极限存在准则与两个重要极限第七节无穷小量的比较第八节函数的连续性第二章一元函数的导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则页脚内容1第三节函数的微分第四节高阶导数第五节微分中值定理第六节洛必达法则第三章一元函数微分学的应用第一节函数的单调性与极值第二节函数的最大（小）值及其应用第三节曲线的凹凸性、拐点第四节微分学在经济学中的应用举例第四章一元函数的积分第一节定积分的概念第二节原函数与微积分学基本定理第三节不定积分与原函数求法第四节积分表的使用第五节定积分的计算第六节广义积分第五章定积分的应用页脚内容2第一节微分元素法第二节平面图形的面积第三节几何体的体积第四节定积分在经济学中的应用第六章常微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节一阶微分方程及其解法第三节微分方程的降阶法第四节线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性微分方程第六节n阶常系数线性微分方程第七章行列式第一节行列式的定义第二节行列式的性质与计算第三节克拉默法则第八章矩阵及其运算第一节矩阵的定义页脚内容3第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第九章向量组与矩阵的秩第一节n维向量第二节线性相关与线性无关第三节向量组的秩与矩阵的秩第四节矩阵的初等变换第五节初等矩阵与求矩阵的逆第六节向量空间第十章线性方程组第一节消元法第二节线性方程组有解判别定理第三节线性方程组解的结构第十一章向量组与矩阵的秩第一节向量的内积第二节方阵的特征值和特征向量页脚内容4第三节相似矩阵第十二章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性第十三章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第十四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第十五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律第二节中心极限定理页脚内容5三、关于大纲的说明与考核实施要求【附录】题型举例页脚内容6一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点《车身工程应用数学基础》是机械制造及自动化专业的理论基础课程，内容包括函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、线性代数及概率论基础等，是学习本专业其他课程的基础。
两个重要极限、无穷小的比较
例如
0 4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 0 （）和 lim lim 5.有两个重要的符号 0 0
x2 2 2 2 (1) lim 0， 当 x 0 时 , 3 x x 是比 3 x x 低 高阶的无穷小; 即 x o (3 x ) ( x 0). x 0 3 x sin x (2) lim 1， 当 x 0x 时， sin 与 x 是等价无穷小． 即 sin x~ (x x0). x0 x 1 2 1 cos x 1 2 ( 3) lim 1 ， 当 x 0 时， 1 cos x 与 x (3) ， 0 时， 1 cos x 是 x 是同阶无穷小． 的二阶无穷小． 即 1 cos x ~ x ( x 0). 2 x 0 1x 2 2 2 x 2 19
形状一致.
1 sin sin 2 x x 1 如： lim 1 u 2 x （令 ） lim x0 2x x 1 x 即 lim x sin 1 1 sin(sin x ) sin( x 1) lim 1 lim 1 x + x x 1 x 0 x 1 sin x 0 可以解决含有三角函数的 型的极限问题. 0 2) 作用： 0 , 0 都适用
又 x1 3 3,假定 xk 3, x k 1 3 x k
x n 存在. xn 是有界的; lim n
3 3 3,
xn1 3 xn , x
2 n1
3 x n , lim x
n
2 n1
lim( 3 x n ),
（1 ）
11
3 x 2x m n mn 补例.1.求 lim( ) . (a ) a 1 x 2 x 2x 1 2( x 2) 4 （1+ 3 ） 解: 原式 lim(1 ) x x x 原式 2 lim 2 2x 1 2( x 2 1 x lim(1 ) ) (1 )4 (1 x ) x x2 x 2 3 x *6 3 1 x 2 2 2 （1+ ） 2 lim[(1 ) ]e . x e . lim x x2 x x 2 2 *4 1 (1 ) x 1 x 2.求 lim x 1
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
高等数学-无穷小的比较
17
例4
tan 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim x 0 1 2 1 x 2 3 2 (1 x ) 1 . 例5. 求 lim
x 0
6
§1-7 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 x 0时, x , x , sin x , x sin ,1 cos x , tan x都是无穷小. x x2 0 , 观 lim x 0 x 2 x 比 x 趋近 0 的速度要快得多 ; 察 x , 各 lim 2 x 0 x 极
log a (1 x) 1 求 lim log a e x 0 x ln a x x lim a 1 x ln a lim log a (1 x) x 0 x 0 ln a
三、等价无穷小代换
定理2(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 2x 2 tan 2 x 如求 lim lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
2 2
限
0 （ 型） 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度 0
不同.
sin x lim x0 x
1,
sin x与x趋近0的速度大致相同 ;
1.定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 故 lim 0 记作 o( )； 0 ( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ; (4) 如 果 lim k C 0, k 0, 就 说 是 的 k 阶 的 无 穷 小 .
厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限
高等数学练习题 第一章 函数与极限________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______第一节 映射与极限一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2++=+x x x f 则)(x f 12+-x x3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -114. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1102-+=x y5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2(2) 32arcsin lg x y =：__ 32x t t s s v v u u y =====,arcsin ,lg ,, _三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域解：)(2x f 的定义域为[11,-] )(s i n xf 的定义域为)()(,[Z k k k ∈+ππ1222.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解：01=)(ϕ 2321=-)(ϕ 2123=)(ϕ （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40=ϕ（图1-22）。
两个重要极限 无穷小的比较
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
(3)如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换 定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与 圆相切，BC⊥AO,所以
B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
小结
一、两个重要极限
大学教材全解——高等数学(同济六版)上册知识资料内容简介
大学教材全解—高等数学（同济六版）上册基本信息作者：曹圣山主编出版社：中国海洋大学出版社出版时光：2023年年-8字数：403.2千版次：1页数：448印刷时光：2023年年-6开本：32开印次：5纸张：胶版纸I S B N ：978-7-81125-734-2包装：平装定价：23.80内容简介“教材全解”系列图书十多年来向来是初高中学生的首选辅导材料，每年销售量位居同类辅导书首位。
为协助广大读者学好《高等数学》这门课程(该课程不仅是理工、经济、管理类等专业学生必修的一门课程，同时也是全国硕士研究生入学考试的重点科目)，我们特邀请了全国各地治学严谨的一线名师，郑重遵循教诲部高等院校教学指导委员会审订的“本科数学基础课程教学基本要求”（教学大纲）和教诲部最新的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”，精心编写了这本《大学教材全解—高等数学》。
本书是同济大学数学系编写的《高等数学》上册（第六版，高等教诲出版社）的配套用书。
其章节内容与教材保持一致，讲解顺序与课堂授课彻低同步，每章内容编写如下：第 1 页/共 6 页本章知识结构图解以清晰的结构图形式，展示本章的知识体系及知识点间的内在逻辑关系。
本节考试出题点概括本节在考试时重点考查知识点的哪些方面，出哪些类型的试题。
重要考点和题型一目了然，为考试复习指明方向，使备考越发轻巧、高效。
教材内容全解这部分突出必须控制或考频较高的核心内容，以知识点举行分类，对重点和难点，在知识点后举行标注, 方便读者在课后复习及期末考试复习时迅速寻找本节重点。
与众不同的是，本书在重要知识点后面配了相应例题，而且异常注重讲解知识点实际应用时易混淆、不容易理解之处以及解题过程中需要注重的事项，并列举与此知识点相关、在解题中广泛使用的核心结论，协助读者学好、吃透本节重要概念、定理（公理）、公式、性质等。
常考基本题型以每节的重点问题为主线，对每节涉及的小学期中、期末考试，全国硕士研究生入学考试等常考基本题型做全面、详尽分析，揭示解题思路、传授主意技巧。
极限存在准则 无穷小比较
例
注
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例1 (P52). 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例2 (P52). 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
An n R
证明:
2
sin
n
cos
n
n
R
cos n
证:
n
lim An lim R
n
sin 2 n
n
说明: 计算中注意利用
重要极限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 (P54). 证 : 当 x 0 时 , 设 n x n 1, 则
n 1 (1 n 1)
例
机动
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例(P58) 当 x 0 时
x 3 o( 6 x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 cos x lim 2 x 0 x
故 时
2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2
1 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
机动
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因式代替规则:
若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则 lim ( x) lim ( x)
例如,
1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
无穷小的比较
记作： : 。
【例如】 Q lim x2 0， 即x2 0(3x). x0 3x
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小
sin x Q lim
x0 x
1
即sin x
~
x
(x
0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小 ．
【定理3】 (等价无穷小代换定理)
设α, β, α’, β’ 是 x→a 时的无穷小，且
~ , ~ ，则当lim 存在时 极限 lim 也存在，且
xa
xa
lim lim
xa xa
【意义】求两个无穷小之比的极限时，分子分母都
可用等价无穷小代替，若选择适当，可简化计算.
【复习】
两个重要极限
① lim sin x 1 x0 x
② lim(1 1 )x e
x
x
推广形式
1.2.5 无穷小的比较
1.【问题】两个无穷小的和、差、积仍是无穷小.
商＝？ 即 0 型未定式极限
【例如】
当x
0
0时,3 x,
x2
, sin
x,
x2
sin
1 x
都 是 无 穷 小.
k 3
x2 2x k
x2 2x 3
lim
lim
x1 x 1
x1 x 1
lim( x 3) 4 x1
例1.已知lim x2 ax b =1,试求a,b的值。
x1 1 x
解 Qlim(1 x) 0, 而 lim x2 ax b 存在,
函数极限存在的夹逼准则(课件全)
例. 证明函数
在
内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y sin( x0 x ) sin x0
y 2 sin 2x cos( x0
x 2
)
x
即 这说明
x 0
0
在
内任意一点连续 .
函数
在点
连续有下列等价命题:
x 0
lim y 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 即： 设函数 即 于是 复合函数 且 ( x0 ) u 0 .
lim f (u )
uu 0
f [ ( x0 )]
例如,
是由连续函数链
x ( ,0) (0, )
复合而成 , 因此
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
x 2 sin 2 2 1 1 cos x lim lim 2 x )2 x 0 x0 4( x 2 2
称为间断点 .
这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2