函数PPT精品讲解

图形 表示
并集
A∪B
交集
A∩B
补集
若全集为U，则集合 A的∁集UA为
意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
(1)对于交集概念的把握要注意以下三个方面： ①交集仍是一个集合； ②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”，即若x∈A∩B，一定有 x∈A且x∈B； ③交集中包括了两集合的全体公共元素，即若x∈A且x∈B，一定有 x∈A∩B. (2)对于并集的理解应注意： 若x∈A∪B，则有三种可能： ①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B.
第一节 集 合
1．集合与元素
(1)集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 ． (2)集合与元素的关系
文字语言 属于
不属于
符号语言
∈ ∉
(3)常见集合的符号表示
数集
自然数 集
正整数 集
整数 集
有理数 集
实数 集
符号 N
N*或N＋
Z
Q
R
(4)集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 Venn图法 ．
2．函数 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． (2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用． (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结 合具体函数，了解函数奇偶性的含义． (5)会用函数图象理解和研究函数的性质．
【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2. ∴a＝1.∴b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}． ∴A∪B＝{1,2,5}．
【答案】 {1,2,5}
5．(2009年江苏卷)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若 A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
(2)∵a＞0，
∴A＝{x||x＋a|≥a}＝{x|x≤－2a，或x≥0}．
又∵A∩B＝{x|－3＜x≤－1}，A∪B＝R，
∴B＝{x|－3＜x＜0}，且－2a＝－1，
∴a＝
1 2
，且－3,0是方程x2＋mx＋n＝0的两根，
∴m＝3，n＝0，
故a＝ 12，m＝3，n＝0.
大多数省市对于集合的概念主要考查基础知识和方法，包括集合 的表示以及集合与集合之间的关系，一般是低档题，而部分省市也 力求改变题目的原有面目，创造新情景，尽可能做到灵活多样甚至 是小型综合，对于集合的考察可以和不等式、线性规划、解析几何 等诸多内容相联系．
1．(2009年山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，
则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】 ∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B ＝{0,1,2,4,16}，
∴
∴a＝4，故选D.
【答案】 D
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，
(3)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全 体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当A⊆U时，∁UA的 含义是：从集合U中去掉集合A的元素后，由所有剩余的元素组成的 新集合．集合A的元素补上∁UA的元素后可合成集合U.
(4)补集∁UA与集合A的区别：两者没有相同的元素；两者的所有 元素合在一起就是全集．
(1)判断两个集合之间的子集、真子集关系可以比照两实 数间的关系：
①A B⇔A⊆B且A≠B，类比于a＜b⇔a≤b且a≠b； ②A⊆B⇔A B或A＝B，类比于a≤b⇔a＜b或a＝b； ③A＝B⇔A⊆B且B⊇A，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.也可以用韦恩图 直观地表示上述各种关系． (2)注意集合{∅}与空集∅的区别与联系：∅⊆{∅}，∅∈{∅}．
3．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的 运算． (3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象 通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型
Hale Waihona Puke Baidu
4．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作 用． (2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0， 且a≠1)．
(1)子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其 子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则 其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.
(2)全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或 真子集，它是我们为研究集合间的关系而临时选定的一个集合．
3．集合的基本运算
符号 表示
5．幂函数
(1)了解幂函数的概念
(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x
，y＝
1
x2
的图象，了解
它们的变化情况．
6．函数与方程
(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判
断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
7．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义． (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由已知得A＝{1,2}，B＝{2,4}，
∴∁U(A∪B)＝{3,5}．故选B. 【答案】 B
3．设全集U＝R，A＝{x|x(－x－3)＞0}，B＝{x|y＝ln(－x－1)}则图中阴 影部分表示的集合为( )
A．{x|x＞0}
1．已知函数f(x)＝x2＋x－1，集合M＝{x|x＝f(x)}，N＝{y|y＝f(x)}，
则( )
A．M＝N
B．M N
C．M∩N＝∅
D．M N
【解析】 由f(x)＝x2＋x－1，x＝f(x)得x2－1＝0，x＝±1，M＝{－1,1}．
y＝
f(x)＝x2＋
x－1＝x＋
122－
54≥－54，
故 N＝xx≥－54
2．(2009年湖北卷)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)
＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )
A．{[1,1]}
B．{(－1,1)}
C．{(1,0)}
D．{(0,1)}
【解析】 ∵P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}
＝{a|a＝(1，m)}，Q＝{b|b＝(1－n,1＋n)，n∈R}，
B．{x|－3＜x＜0}
C．{x|－3＜x＜－1} D．{x|x＜－1}
【解析】 A＝{x|－3＜x＜0}，B＝{x|x＜－1}，阴影部分表示的集合为
A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．
【答案】 C
4．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B ＝________.
1．集合 (1)集合的含义与表示 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题． (2)集合的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情景中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与 交集． 理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 能用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
，故
【答案】 D
集合的基本运算
若集合A＝{x|x2－2x－8＜0}，B＝{x|x－m＜0}． (1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)； (2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)由x2－2x－8＜0，得－2＜x＜4， ∴A＝{x|－2＜x＜4}． 当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}， ∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，∁UB＝{x|3≤x＜4}． ∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x＜4}． (2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}， 又A∩B＝∅，∴m≤－2. (3)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}， 由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合 的最基本特征．没有确定性就不能成为集合，例如“很小的数”“个子较高 的同学”都不能构成集合．
(2)在同一个集合里，通常不考虑元素之间的顺序，如集合{a，b，c}与集合 {b，c，a}是相同集合．
(3)集合中任何两个元素都是不同对象，即在同一集合里不能重复出现相同 元素．如方程(x－1)2(x－2)＝0的解集不能写成{1,1,2}，而应写成{1,2}．
【解析】 ∵log2x≤2，∴0＜x≤4. 又∵A⊆B，∴a＞4.∴c＝4.
【答案】 4
集合的基本概念
现有三个实数的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2010＋b2010＝________.
【思路点拨】 由两集合相等，得相应元素对应相等，则只有 b ＝0.
a
【解析】
由已知得
2．集合间的基本关系
表 示关系
相等 子集
真子集
空集
文字语言
集合A与集合B中的所有
元素都相同
A中任意一个元素均为B
中的元素
A中任意一个元素均为B
中的元素，且B中至少有
一个元素不是A中的元素
空集是任何集合的子集，
是任非何空集合
的真
子集
符号语言 ⇔A
A⊆B且B＝⊆BA
A⊆B或B⊇A
A B或B A
∅⊆A，∅ B(B≠∅)
1．(2009年江西卷)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB) 中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn
B．m＋n
C．n－m
D．m－n
【解析】 ∵(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，如右图所示阴影部分，又 ∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m-n个元素．
【答案】 D
b a
＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，
又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2010＋b2010＝(－
1)2010＝1.
集合间的基本关系
设集合A＝{x|x＝a2＋2a＋4}，B＝{y|y＝b2－4b＋7}． (1)若a∈R，b∈R，试确定集合A与B的关系； (2)若a∈N，b∈R，试确定集合A与B的的关系． 【解析】 (1)若a∈R.b∈R. 则x＝(a＋1)2＋3≥3，y＝(b－2)2＋3≥3， 此时集合A、B都是大于或等于3的实数的集合， ∴A＝B. (2)若a∈N、b∈R，则对于任意的x0∈A，有x0＝(a0＋1)2＋3，其中a0∈N， 令b0＝a0＋3，则b0∈N， 且(a0＋1)2＋3＝(b0－2)2＋3∈B. 而当b0＝2时，y0＝3∉A，从而可知A B.
4．集合的运算性质 (1)若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. (2)∅⊆A，若A≠∅，则∅ A. (3)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (4)A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪∅＝A. (5)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U. (6)A∩B⊆A⊆A∪B. (7)若A⊆B，则A∩B⊆A∪B，A∩B＝A，A∪B＝B.
在进行集合运算时要注意： (1)两个结论 ①若A∩B＝A，则A⊆B，反之也成立； ②若A∪B＝B，则A⊆B，反之也成立．应用这两个结论时一定要 注意不要忘记集合A＝∅这一个特例． (2)可以借助韦恩图或数轴来辅助理解两个集合的交集与并集的特 征并用来解题．
2．已知A＝{x||x＋a|≥a}，B＝{x|x2＋mx＋n＜0}． (1)若a＝2，m＝4，n＝－5，求A∩B，A∪B； (2)若a＞0，A∩B＝{x|－3＜x≤－1}，A∪B＝R， 求a，m，n的值． 【解析】 (1)由a＝2，知A＝{x||x＋2|≥2}＝{x|x≤－4，或x≥0}， 由m＝4，n＝－5知 B＝{x|x2＋4x－5＜0}＝{x|－5＜x＜1}． ∴A∩B＝{x|－5＜x≤－4，或0≤x＜1}， A∪B＝{x|x≤－4，或x≥0，或－5＜x＜1}＝R.