概率论与数理统计公式_小抄必备

概率论和数理统计公式集锦

二、随机变量及其分布

1、分布函数

()()(),()()()

()k k x x

x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞

⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ –1分布

(1,)b p

二项分布 (,)b n p 泊松分布 ()X P λ

、续型随机变量及其分布分布名称 均匀分布 (,)U a b (f 分布名称 指数分布 ()e λ 正态分布

2

(,)N μσ

标准正态分布

(0,1)N

、随机变量函数

离散型：()(),1,2,

j i

i j g x y P Y y p i ===

=∑

，

连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布

分布律：(,),,1,2,

i j ij P X x Y y p i j ====分布函数(,)i i ij

x x y y

F X Y p

≤≤=

∑∑

边缘分布律：()i i ij j

p P X x p ⋅===∑ ()j j

ij i

p P Y y p ⋅===∑

条件分布律：(),1,2,

ij i j j

p P X x Y y i p ⋅===

=，(),1,2,

ij j i i p P Y y X x j p ⋅

===

=

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰

∞-∞

-=x y

dudv v u f y x F ),(),(

性质：2(,)

(,)1,

(,),F x y F f x y x y

∂+∞+∞==∂∂((,))(,)G

P x y G f x y dxdy ∈=

⎰⎰

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞

∞

-=x

X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞

∞

-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰

∞-+∞

∞-=

y

Y dudv v u f y F ),()( ⎰

+∞

∞

-=

du y u f y f Y ),()(

③条件概率密度

+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)

()

,()(

3、随机变量的独立性

随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 4、二维随机变量和函数的分布

离散型：()(,)i j k

k i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑

连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-⎰

⎰

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型∑

+∞

==

1

)(k k k p x X E ，连续型⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E = 2、方差

①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-

②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=± 3、协方差与相关系数

①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：

XY

ρ，当X 、Y 相互独立时：0=XY

ρ(X,Y 不相关)

③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2

)

(})({εεX D X E X P ≤

≥-

2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，

2

)

(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2

σ，则：

∑∑

==∞→−→

−n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每

次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞

⎛⎫

-<= ⎪⎝⎭

③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞

→=−→−∑n P n

i i

X

n

1

1

3、中心极限定理

①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为

μ，方差为02

>σ，当n

充分大时有：1

((0,1)~n

n k k Y X n N μ==-−−

→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：

2

2

lim }()t x n P x dt x -→∞≤==Φ⎰

③近似计算：1

()n

k k P a X b =≤

≤≈Φ-Φ∑

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数 设总体()X F x ，则样本的联合分布函数)(),(1

21k n

k n x F x x x F =∏=

2、统计量 样本均值：∑

==

n

i i X n

X 1

1，样本方差：∑

∑

==--=--=

n

i i n

i i X n X n X X n S 1

22122

)(11

)(11 样本标准差：∑

=--=

n

i i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,1

1

==∑=k

X

n

A n

i k

i k

样本k 阶中心距：1

1(),1,2,3

n

k k i i B X X k n ==-=∑

3、三大抽样分布

(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i

X N (1,2,

,)i n =且相互独立，则称统计量

2

22212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ

性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则

)(~2n m Y X ++χ

(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：

n

Y X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T

性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-

②2

2

lim ()()x n n f x x ϕ-→∞==

(3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X m

F m n Y n

=

服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F

七、参数估计

1.参数估计

①定义：用12(,,,)n X X X θ∧

估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧

为θ的估计

量，相应的12(,,

,)n x x x θ∧

为总体θ的估计值。